Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37877 / 30739
↖ ↑ ↗
← N 11.075994°
E 28.064575°		 ← 599.41 m → N 11.075994°
E 28.070068°		 →
↑
599.45 m
↓
↑
599.45 m
↓
N 11.070603°
E 28.064575°		 ← 599.42 m →
359 319 m²		 N 11.070603°
E 28.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577964782714844 y=0.469047546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577964782714844 × 216)
    floor (0.577964782714844 × 65536)
    floor (37877.5)     		tx = 37877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469047546386719 × 216)
    floor (0.469047546386719 × 65536)
    floor (30739.5)     		ty = 30739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37877 / 30739 ti = "16/37877/30739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37877/30739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37877 ÷ 216
    37877 ÷ 65536     		x = 0.577957153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30739 ÷ 216
    30739 ÷ 65536     		y = 0.469039916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577957153320312 × 2 - 1) × π
    0.155914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48981924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469039916992188 × 2 - 1) × π
    0.061920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.194527938658188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48981924} λ = 0.48981924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194527938658188))-π/2
    2×atan(1.21473742054454)-π/2
    2×0.882054443333383-π/2
    1.76410888666677-1.57079632675     		φ = 0.19331256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48981924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.064575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19331256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.075994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37877 KachelY 30739 0.48981924 0.19331256 28.064575 11.075994
    Oben rechts KachelX + 1 37878 KachelY 30739 0.48991511 0.19331256 28.070068 11.075994
    Unten links KachelX 37877 KachelY + 1 30740 0.48981924 0.19321847 28.064575 11.070603
    Unten rechts KachelX + 1 37878 KachelY + 1 30740 0.48991511 0.19321847 28.070068 11.070603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19331256-0.19321847) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dl = 599.447389999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19331256-0.19321847) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dr = 599.447389999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48981924-0.48991511) × cos(0.19331256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981373242052559 × 6371000     		do = 599.41077405094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48981924-0.48991511) × cos(0.19321847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981391313413767 × 6371000     		du = 599.421811817352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19331256)-sin(0.19321847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981373242052559-0.981391313413767)×R²
    abs(0.48991511-0.48981924)×1.80713612071282e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80713612071282e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80713612071282e-05×40589641000000     		ar = 359318.532587967m²