Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37873 / 30737
↖ ↑ ↗
← N 11.086775°
E 28.042603°		 ← 599.39 m → N 11.086775°
E 28.048096°		 →
↑
599.38 m
↓
↑
599.38 m
↓
N 11.081385°
E 28.042603°		 ← 599.40 m →
359 267 m²		 N 11.081385°
E 28.048096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577903747558594 y=0.469017028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577903747558594 × 216)
    floor (0.577903747558594 × 65536)
    floor (37873.5)     		tx = 37873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469017028808594 × 216)
    floor (0.469017028808594 × 65536)
    floor (30737.5)     		ty = 30737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37873 / 30737 ti = "16/37873/30737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37873/30737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37873 ÷ 216
    37873 ÷ 65536     		x = 0.577896118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30737 ÷ 216
    30737 ÷ 65536     		y = 0.469009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577896118164062 × 2 - 1) × π
    0.155792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48943575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469009399414062 × 2 - 1) × π
    0.061981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.194719686256668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48943575} λ = 0.48943575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194719686256668))-π/2
    2×atan(1.21497036586035)-π/2
    2×0.88214852958109-π/2
    1.76429705916218-1.57079632675     		φ = 0.19350073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48943575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.042603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19350073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.086775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37873 KachelY 30737 0.48943575 0.19350073 28.042603 11.086775
    Oben rechts KachelX + 1 37874 KachelY 30737 0.48953162 0.19350073 28.048096 11.086775
    Unten links KachelX 37873 KachelY + 1 30738 0.48943575 0.19340665 28.042603 11.081385
    Unten rechts KachelX + 1 37874 KachelY + 1 30738 0.48953162 0.19340665 28.048096 11.081385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19350073-0.19340665) × R
    9.40799999999964e-05 × 6371000     		dl = 599.383679999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19350073-0.19340665) × R
    9.40799999999964e-05 × 6371000     		dr = 599.383679999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48943575-0.48953162) × cos(0.19350073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98133707518918 × 6371000     		do = 599.388683773108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48943575-0.48953162) × cos(0.19340665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981355162003326 × 6371000     		du = 599.399730977987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19350073)-sin(0.19340665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98133707518918-0.981355162003326)×R²
    abs(0.48953162-0.48943575)×1.80868141458346e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80868141458346e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80868141458346e-05×40589641000000     		ar = 359267.106052408m²