Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3787 / 3507
↖ ↑ ↗
← N 25.045792°
W 13.579101°		 ← 4 427.02 m → N 25.045792°
W 13.535156°		 →
↑
4 427.72 m
↓
↑
4 427.72 m
↓
N 25.005973°
W 13.579101°		 ← 4 428.45 m →
19 604 753 m²		 N 25.005973°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46234130859375 y=0.42816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46234130859375 × 213)
    floor (0.46234130859375 × 8192)
    floor (3787.5)     		tx = 3787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42816162109375 × 213)
    floor (0.42816162109375 × 8192)
    floor (3507.5)     		ty = 3507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3787 / 3507 ti = "13/3787/3507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3787/3507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3787 ÷ 213
    3787 ÷ 8192     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3507 ÷ 213
    3507 ÷ 8192     		y = 0.4281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451757342019409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451757342019409))-π/2
    2×atan(1.57107066948329)-π/2
    2×1.00396393257347-π/2
    2.00792786514694-1.57079632675     		φ = 0.43713154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43713154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.045792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3787 KachelY 3507 -0.23700003 0.43713154 -13.579101 25.045792
    Oben rechts KachelX + 1 3788 KachelY 3507 -0.23623304 0.43713154 -13.535156 25.045792
    Unten links KachelX 3787 KachelY + 1 3508 -0.23700003 0.43643656 -13.579101 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 3788 KachelY + 1 3508 -0.23623304 0.43643656 -13.535156 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43713154-0.43643656) × R
    0.000694980000000012 × 6371000     		dl = 4427.71758000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43713154-0.43643656) × R
    0.000694980000000012 × 6371000     		dr = 4427.71758000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(0.43713154) × R
    0.000766989999999995 × 0.905969729688246 × 6371000     		do = 4427.0150050647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(0.43643656) × R
    0.000766989999999995 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 4428.45161326246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43713154)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905969729688246-0.906263725425577)×R²
    abs(-0.23623304--0.23700003)×0.000293995737331354×R²
    0.000766989999999995×0.000293995737331354×6371000²
    0.000766989999999995×0.000293995737331354×40589641000000     		ar = 19604753.4016214m²