Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3787 / 3501
↖ ↑ ↗
← N 25.284438°
W 13.579101°		 ← 4 418.36 m → N 25.284438°
W 13.535156°		 →
↑
4 419.12 m
↓
↑
4 419.12 m
↓
N 25.244696°
W 13.579101°		 ← 4 419.81 m →
19 528 447 m²		 N 25.244696°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46234130859375 y=0.42742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46234130859375 × 213)
    floor (0.46234130859375 × 8192)
    floor (3787.5)     		tx = 3787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42742919921875 × 213)
    floor (0.42742919921875 × 8192)
    floor (3501.5)     		ty = 3501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3787 / 3501 ti = "13/3787/3501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3787/3501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3787 ÷ 213
    3787 ÷ 8192     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3501 ÷ 213
    3501 ÷ 8192     		y = 0.4273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456359284382935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456359284382935))-π/2
    2×atan(1.57831730766988)-π/2
    2×1.00604650749175-π/2
    2.01209301498349-1.57079632675     		φ = 0.44129669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44129669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.284438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3787 KachelY 3501 -0.23700003 0.44129669 -13.579101 25.284438
    Oben rechts KachelX + 1 3788 KachelY 3501 -0.23623304 0.44129669 -13.535156 25.284438
    Unten links KachelX 3787 KachelY + 1 3502 -0.23700003 0.44060306 -13.579101 25.244696
    Unten rechts KachelX + 1 3788 KachelY + 1 3502 -0.23623304 0.44060306 -13.535156 25.244696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44129669-0.44060306) × R
    0.000693630000000001 × 6371000     		dl = 4419.11673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44129669-0.44060306) × R
    0.000693630000000001 × 6371000     		dr = 4419.11673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(0.44129669) × R
    0.000766989999999995 × 0.904198591302925 × 6371000     		do = 4418.36034922917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(0.44060306) × R
    0.000766989999999995 × 0.904494631661076 × 6371000     		du = 4419.80694845284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44129669)-sin(0.44060306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904198591302925-0.904494631661076)×R²
    abs(-0.23623304--0.23700003)×0.000296040358151228×R²
    0.000766989999999995×0.000296040358151228×6371000²
    0.000766989999999995×0.000296040358151228×40589641000000     		ar = 19528447.2668261m²