Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3787 / 2099
↖ ↑ ↗
← N 65.603878°
W 13.579101°		 ← 2 018.33 m → N 65.603878°
W 13.535156°		 →
↑
2 019.03 m
↓
↑
2 019.03 m
↓
N 65.585720°
W 13.579101°		 ← 2 019.74 m →
4 076 501 m²		 N 65.585720°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46234130859375 y=0.25628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46234130859375 × 213)
    floor (0.46234130859375 × 8192)
    floor (3787.5)     		tx = 3787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25628662109375 × 213)
    floor (0.25628662109375 × 8192)
    floor (2099.5)     		ty = 2099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3787 / 2099 ti = "13/3787/2099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3787/2099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3787 ÷ 213
    3787 ÷ 8192     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2099 ÷ 213
    2099 ÷ 8192     		y = 0.2562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2562255859375 × 2 - 1) × π
    0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53167981666003))-π/2
    2×atan(4.62594103206358)-π/2
    2×1.3578999969975-π/2
    2.71579999399501-1.57079632675     		φ = 1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3787 KachelY 2099 -0.23700003 1.14500367 -13.579101 65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 3788 KachelY 2099 -0.23623304 1.14500367 -13.535156 65.603878
    Unten links KachelX 3787 KachelY + 1 2100 -0.23700003 1.14468676 -13.579101 65.585720
    Unten rechts KachelX + 1 3788 KachelY + 1 2100 -0.23623304 1.14468676 -13.535156 65.585720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14500367-1.14468676) × R
    0.000316910000000004 × 6371000     		dl = 2019.03361000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14500367-1.14468676) × R
    0.000316910000000004 × 6371000     		dr = 2019.03361000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(1.14500367) × R
    0.000766989999999995 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 2018.3308373488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23623304) × cos(1.14468676) × R
    0.000766989999999995 × 0.413331386050995 × 6371000     		du = 2019.74104448457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14500367)-sin(1.14468676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.413331386050995)×R²
    abs(-0.23623304--0.23700003)×0.00028859287265609×R²
    0.000766989999999995×0.00028859287265609×6371000²
    0.000766989999999995×0.00028859287265609×40589641000000     		ar = 4076501.45862751m²