Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37865 / 30691
↖ ↑ ↗
← N 11.334639°
E 27.998657°		 ← 598.94 m → N 11.334639°
E 28.004150°		 →
↑
598.87 m
↓
↑
598.87 m
↓
N 11.329253°
E 27.998657°		 ← 598.95 m →
358 691 m²		 N 11.329253°
E 28.004150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577781677246094 y=0.468315124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577781677246094 × 216)
    floor (0.577781677246094 × 65536)
    floor (37865.5)     		tx = 37865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468315124511719 × 216)
    floor (0.468315124511719 × 65536)
    floor (30691.5)     		ty = 30691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37865 / 30691 ti = "16/37865/30691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37865/30691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37865 ÷ 216
    37865 ÷ 65536     		x = 0.577774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30691 ÷ 216
    30691 ÷ 65536     		y = 0.468307495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577774047851562 × 2 - 1) × π
    0.155548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48866875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468307495117188 × 2 - 1) × π
    0.063385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.199129881021713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48866875} λ = 0.48866875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199129881021713))-π/2
    2×atan(1.2203404546724)-π/2
    2×0.884311549329562-π/2
    1.76862309865912-1.57079632675     		φ = 0.19782677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48866875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.998657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19782677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.334639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37865 KachelY 30691 0.48866875 0.19782677 27.998657 11.334639
    Oben rechts KachelX + 1 37866 KachelY 30691 0.48876463 0.19782677 28.004150 11.334639
    Unten links KachelX 37865 KachelY + 1 30692 0.48866875 0.19773277 27.998657 11.329253
    Unten rechts KachelX + 1 37866 KachelY + 1 30692 0.48876463 0.19773277 28.004150 11.329253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19782677-0.19773277) × R
    9.40000000000107e-05 × 6371000     		dl = 598.874000000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19782677-0.19773277) × R
    9.40000000000107e-05 × 6371000     		dr = 598.874000000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48866875-0.48876463) × cos(0.19782677) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980496017259808 × 6371000     		do = 598.937443277213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48866875-0.48876463) × cos(0.19773277) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980514487589553 × 6371000     		du = 598.948725905474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19782677)-sin(0.19773277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980496017259808-0.980514487589553)×R²
    abs(0.48876463-0.48866875)×1.84703297452238e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.84703297452238e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.84703297452238e-05×40589641000000     		ar = 358691.441105782m²