Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37864 / 30690
↖ ↑ ↗
← N 11.340025°
E 27.993164°		 ← 598.86 m → N 11.340025°
E 27.998657°		 →
↑
598.87 m
↓
↑
598.87 m
↓
N 11.334639°
E 27.993164°		 ← 598.87 m →
358 647 m²		 N 11.334639°
E 27.998657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577766418457031 y=0.468299865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577766418457031 × 216)
    floor (0.577766418457031 × 65536)
    floor (37864.5)     		tx = 37864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468299865722656 × 216)
    floor (0.468299865722656 × 65536)
    floor (30690.5)     		ty = 30690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37864 / 30690 ti = "16/37864/30690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37864/30690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37864 ÷ 216
    37864 ÷ 65536     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30690 ÷ 216
    30690 ÷ 65536     		y = 0.468292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468292236328125 × 2 - 1) × π
    0.06341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.199225754820953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199225754820953))-π/2
    2×atan(1.22045745895689)-π/2
    2×0.884358550825808-π/2
    1.76871710165162-1.57079632675     		φ = 0.19792077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19792077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.340025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37864 KachelY 30690 0.48857288 0.19792077 27.993164 11.340025
    Oben rechts KachelX + 1 37865 KachelY 30690 0.48866875 0.19792077 27.998657 11.340025
    Unten links KachelX 37864 KachelY + 1 30691 0.48857288 0.19782677 27.993164 11.334639
    Unten rechts KachelX + 1 37865 KachelY + 1 30691 0.48866875 0.19782677 27.998657 11.334639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19792077-0.19782677) × R
    9.3999999999983e-05 × 6371000     		dl = 598.873999999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19792077-0.19782677) × R
    9.3999999999983e-05 × 6371000     		dr = 598.873999999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48866875) × cos(0.19792077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9804775382664 × 6371000     		do = 598.863689132811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48866875) × cos(0.19782677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980496017259808 × 6371000     		du = 598.874975875986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19792077)-sin(0.19782677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9804775382664-0.980496017259808)×R²
    abs(0.48866875-0.48857288)×1.8478993408011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8478993408011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8478993408011e-05×40589641000000     		ar = 358647.272898243m²