Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37864 / 30552
↖ ↑ ↗
← N 12.082296°
E 27.993164°		 ← 597.26 m → N 12.082296°
E 27.998657°		 →
↑
597.28 m
↓
↑
597.28 m
↓
N 12.076924°
E 27.993164°		 ← 597.27 m →
356 734 m²		 N 12.076924°
E 27.998657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577766418457031 y=0.466194152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577766418457031 × 216)
    floor (0.577766418457031 × 65536)
    floor (37864.5)     		tx = 37864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466194152832031 × 216)
    floor (0.466194152832031 × 65536)
    floor (30552.5)     		ty = 30552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37864 / 30552 ti = "16/37864/30552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37864/30552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37864 ÷ 216
    37864 ÷ 65536     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30552 ÷ 216
    30552 ÷ 65536     		y = 0.4661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    0.067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.212456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212456339116089))-π/2
    2×atan(1.23671211644236)-π/2
    2×0.890836085175479-π/2
    1.78167217035096-1.57079632675     		φ = 0.21087584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21087584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.082296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37864 KachelY 30552 0.48857288 0.21087584 27.993164 12.082296
    Oben rechts KachelX + 1 37865 KachelY 30552 0.48866875 0.21087584 27.998657 12.082296
    Unten links KachelX 37864 KachelY + 1 30553 0.48857288 0.21078209 27.993164 12.076924
    Unten rechts KachelX + 1 37865 KachelY + 1 30553 0.48866875 0.21078209 27.998657 12.076924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21087584-0.21078209) × R
    9.37500000000036e-05 × 6371000     		dl = 597.281250000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21087584-0.21078209) × R
    9.37500000000036e-05 × 6371000     		dr = 597.281250000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48866875) × cos(0.21087584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977847962107176 × 6371000     		do = 597.257576174474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48866875) × cos(0.21078209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977867581224187 × 6371000     		du = 597.269559291202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21087584)-sin(0.21078209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977847962107176-0.977867581224187)×R²
    abs(0.48866875-0.48857288)×1.96191170108717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96191170108717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96191170108717e-05×40589641000000     		ar = 356734.330576176m²