Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37863 / 30689
↖ ↑ ↗
← N 11.345411°
E 27.987671°		 ← 598.85 m → N 11.345411°
E 27.993164°		 →
↑
598.94 m
↓
↑
598.94 m
↓
N 11.340025°
E 27.987671°		 ← 598.86 m →
358 679 m²		 N 11.340025°
E 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577751159667969 y=0.468284606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577751159667969 × 216)
    floor (0.577751159667969 × 65536)
    floor (37863.5)     		tx = 37863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468284606933594 × 216)
    floor (0.468284606933594 × 65536)
    floor (30689.5)     		ty = 30689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37863 / 30689 ti = "16/37863/30689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37863/30689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37863 ÷ 216
    37863 ÷ 65536     		x = 0.577743530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30689 ÷ 216
    30689 ÷ 65536     		y = 0.468276977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577743530273438 × 2 - 1) × π
    0.155487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48847701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468276977539062 × 2 - 1) × π
    0.063446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.199321628620193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48847701} λ = 0.48847701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.199321628620193))-π/2
    2×atan(1.22057447445956)-π/2
    2×0.884405551436001-π/2
    1.768811102872-1.57079632675     		φ = 0.19801478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48847701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.987671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19801478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.345411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37863 KachelY 30689 0.48847701 0.19801478 27.987671 11.345411
    Oben rechts KachelX + 1 37864 KachelY 30689 0.48857288 0.19801478 27.993164 11.345411
    Unten links KachelX 37863 KachelY + 1 30690 0.48847701 0.19792077 27.987671 11.340025
    Unten rechts KachelX + 1 37864 KachelY + 1 30690 0.48857288 0.19792077 27.993164 11.340025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19801478-0.19792077) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dl = 598.937710000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19801478-0.19792077) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dr = 598.937710000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48847701-0.48857288) × cos(0.19801478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980459048642259 × 6371000     		do = 598.852395896514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48847701-0.48857288) × cos(0.19792077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9804775382664 × 6371000     		du = 598.863689132811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19801478)-sin(0.19792077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980459048642259-0.9804775382664)×R²
    abs(0.48857288-0.48847701)×1.84896241405275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84896241405275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84896241405275e-05×40589641000000     		ar = 358678.664862942m²