Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3786 / 3498
↖ ↑ ↗
← N 25.403585°
W 13.623047°		 ← 4 414.01 m → N 25.403585°
W 13.579101°		 →
↑
4 414.72 m
↓
↑
4 414.72 m
↓
N 25.363882°
W 13.623047°		 ← 4 415.46 m →
19 489 829 m²		 N 25.363882°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46221923828125 y=0.42706298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46221923828125 × 213)
    floor (0.46221923828125 × 8192)
    floor (3786.5)     		tx = 3786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42706298828125 × 213)
    floor (0.42706298828125 × 8192)
    floor (3498.5)     		ty = 3498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3786 / 3498 ti = "13/3786/3498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3786/3498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3786 ÷ 213
    3786 ÷ 8192     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3498 ÷ 213
    3498 ÷ 8192     		y = 0.427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427001953125 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458660255564697))-π/2
    2×atan(1.58195315169251)-π/2
    2×1.00708626318766-π/2
    2.01417252637532-1.57079632675     		φ = 0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3786 KachelY 3498 -0.23776702 0.44337620 -13.623047 25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 3787 KachelY 3498 -0.23700003 0.44337620 -13.579101 25.403585
    Unten links KachelX 3786 KachelY + 1 3499 -0.23776702 0.44268326 -13.623047 25.363882
    Unten rechts KachelX + 1 3787 KachelY + 1 3499 -0.23700003 0.44268326 -13.579101 25.363882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44337620-0.44268326) × R
    0.000692939999999975 × 6371000     		dl = 4414.72073999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44337620-0.44268326) × R
    0.000692939999999975 × 6371000     		dr = 4414.72073999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(0.44337620) × R
    0.000766989999999995 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 4414.01069255991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(0.44268326) × R
    0.000766989999999995 × 0.903605501210735 × 6371000     		du = 4415.46221847331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44337620)-sin(0.44268326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903605501210735)×R²
    abs(-0.23700003--0.23776702)×0.000297048584180337×R²
    0.000766989999999995×0.000297048584180337×6371000²
    0.000766989999999995×0.000297048584180337×40589641000000     		ar = 19489829.3716649m²