Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3786 / 2125
↖ ↑ ↗
← N 65.127638°
W 13.623047°		 ← 2 055.25 m → N 65.127638°
W 13.579101°		 →
↑
2 055.99 m
↓
↑
2 055.99 m
↓
N 65.109148°
W 13.623047°		 ← 2 056.68 m →
4 227 035 m²		 N 65.109148°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46221923828125 y=0.25946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46221923828125 × 213)
    floor (0.46221923828125 × 8192)
    floor (3786.5)     		tx = 3786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25946044921875 × 213)
    floor (0.25946044921875 × 8192)
    floor (2125.5)     		ty = 2125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3786 / 2125 ti = "13/3786/2125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3786/2125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3786 ÷ 213
    3786 ÷ 8192     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2125 ÷ 213
    2125 ÷ 8192     		y = 0.2593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2593994140625 × 2 - 1) × π
    0.481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51173806641809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51173806641809))-π/2
    2×atan(4.53460539439822)-π/2
    2×1.35374402158242-π/2
    2.70748804316485-1.57079632675     		φ = 1.13669172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13669172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.127638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3786 KachelY 2125 -0.23776702 1.13669172 -13.623047 65.127638
    Oben rechts KachelX + 1 3787 KachelY 2125 -0.23700003 1.13669172 -13.579101 65.127638
    Unten links KachelX 3786 KachelY + 1 2126 -0.23776702 1.13636901 -13.623047 65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 3787 KachelY + 1 2126 -0.23700003 1.13636901 -13.579101 65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13669172-1.13636901) × R
    0.000322710000000059 × 6371000     		dl = 2055.98541000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13669172-1.13636901) × R
    0.000322710000000059 × 6371000     		dr = 2055.98541000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(1.13669172) × R
    0.000766989999999995 × 0.420598227272906 × 6371000     		do = 2055.25041535494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(1.13636901) × R
    0.000766989999999995 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 2056.68096448774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13669172)-sin(1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420598227272906-0.420890983048449)×R²
    abs(-0.23700003--0.23776702)×0.000292755775542886×R²
    0.000766989999999995×0.000292755775542886×6371000²
    0.000766989999999995×0.000292755775542886×40589641000000     		ar = 4227035.4986226m²