Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3786 / 2083
↖ ↑ ↗
← N 65.892680°
W 13.623047°		 ← 1 995.87 m → N 65.892680°
W 13.579101°		 →
↑
1 996.54 m
↓
↑
1 996.54 m
↓
N 65.874725°
W 13.623047°		 ← 1 997.27 m →
3 986 245 m²		 N 65.874725°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46221923828125 y=0.25433349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46221923828125 × 213)
    floor (0.46221923828125 × 8192)
    floor (3786.5)     		tx = 3786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25433349609375 × 213)
    floor (0.25433349609375 × 8192)
    floor (2083.5)     		ty = 2083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3786 / 2083 ti = "13/3786/2083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3786/2083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3786 ÷ 213
    3786 ÷ 8192     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2083 ÷ 213
    2083 ÷ 8192     		y = 0.2542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2542724609375 × 2 - 1) × π
    0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54395166296277))-π/2
    2×atan(4.68305962790108)-π/2
    2×1.3604202753972-π/2
    2.7208405507944-1.57079632675     		φ = 1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3786 KachelY 2083 -0.23776702 1.15004422 -13.623047 65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 3787 KachelY 2083 -0.23700003 1.15004422 -13.579101 65.892680
    Unten links KachelX 3786 KachelY + 1 2084 -0.23776702 1.14973084 -13.623047 65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 3787 KachelY + 1 2084 -0.23700003 1.14973084 -13.579101 65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15004422-1.14973084) × R
    0.000313380000000141 × 6371000     		dl = 1996.5439800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15004422-1.14973084) × R
    0.000313380000000141 × 6371000     		dr = 1996.5439800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(1.15004422) × R
    0.000766989999999995 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 1995.87390627666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23700003) × cos(1.14973084) × R
    0.000766989999999995 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 1997.27157804467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15004422)-sin(1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.408733105626485)×R²
    abs(-0.23700003--0.23776702)×0.000286027563132951×R²
    0.000766989999999995×0.000286027563132951×6371000²
    0.000766989999999995×0.000286027563132951×40589641000000     		ar = 3986245.32161795m²