Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37859 / 28301
↖ ↑ ↗
← N 23.820526°
E 27.965698°		 ← 558.82 m → N 23.820526°
E 27.971192°		 →
↑
558.80 m
↓
↑
558.80 m
↓
N 23.815501°
E 27.965698°		 ← 558.84 m →
312 273 m²		 N 23.815501°
E 27.971192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577690124511719 y=0.431846618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577690124511719 × 216)
    floor (0.577690124511719 × 65536)
    floor (37859.5)     		tx = 37859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431846618652344 × 216)
    floor (0.431846618652344 × 65536)
    floor (28301.5)     		ty = 28301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37859 / 28301 ti = "16/37859/28301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37859/28301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37859 ÷ 216
    37859 ÷ 65536     		x = 0.577682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28301 ÷ 216
    28301 ÷ 65536     		y = 0.431838989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577682495117188 × 2 - 1) × π
    0.155364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48809351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431838989257812 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428268261205582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48809351} λ = 0.48809351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428268261205582))-π/2
    2×atan(1.53459769878332)-π/2
    2×0.993271469048192-π/2
    1.98654293809638-1.57079632675     		φ = 0.41574661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48809351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41574661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.820526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37859 KachelY 28301 0.48809351 0.41574661 27.965698 23.820526
    Oben rechts KachelX + 1 37860 KachelY 28301 0.48818939 0.41574661 27.971192 23.820526
    Unten links KachelX 37859 KachelY + 1 28302 0.48809351 0.41565890 27.965698 23.815501
    Unten rechts KachelX + 1 37860 KachelY + 1 28302 0.48818939 0.41565890 27.971192 23.815501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41574661-0.41565890) × R
    8.77100000000186e-05 × 6371000     		dl = 558.800410000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41574661-0.41565890) × R
    8.77100000000186e-05 × 6371000     		dr = 558.800410000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48809351-0.48818939) × cos(0.41574661) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914815039833645 × 6371000     		do = 558.816121008598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48809351-0.48818939) × cos(0.41565890) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914850460020217 × 6371000     		du = 558.837757481987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41574661)-sin(0.41565890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914815039833645-0.914850460020217)×R²
    abs(0.48818939-0.48809351)×3.54201865720993e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54201865720993e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54201865720993e-05×40589641000000     		ar = 312272.722969439m²