Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37858 / 28202
↖ ↑ ↗
← N 24.317065°
E 27.960205°		 ← 556.60 m → N 24.317065°
E 27.965698°		 →
↑
556.63 m
↓
↑
556.63 m
↓
N 24.312059°
E 27.960205°		 ← 556.62 m →
309 828 m²		 N 24.312059°
E 27.965698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577674865722656 y=0.430335998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577674865722656 × 216)
    floor (0.577674865722656 × 65536)
    floor (37858.5)     		tx = 37858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430335998535156 × 216)
    floor (0.430335998535156 × 65536)
    floor (28202.5)     		ty = 28202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37858 / 28202 ti = "16/37858/28202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37858/28202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37858 ÷ 216
    37858 ÷ 65536     		x = 0.577667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28202 ÷ 216
    28202 ÷ 65536     		y = 0.430328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577667236328125 × 2 - 1) × π
    0.15533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48799764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    0.13934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437759767330353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48799764} λ = 0.48799764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437759767330353))-π/2
    2×atan(1.54923268640731)-π/2
    2×0.997604590405483-π/2
    1.99520918081097-1.57079632675     		φ = 0.42441285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48799764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.960205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42441285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.317065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37858 KachelY 28202 0.48799764 0.42441285 27.960205 24.317065
    Oben rechts KachelX + 1 37859 KachelY 28202 0.48809351 0.42441285 27.965698 24.317065
    Unten links KachelX 37858 KachelY + 1 28203 0.48799764 0.42432548 27.960205 24.312059
    Unten rechts KachelX + 1 37859 KachelY + 1 28203 0.48809351 0.42432548 27.965698 24.312059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42441285-0.42432548) × R
    8.7370000000031e-05 × 6371000     		dl = 556.634270000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42441285-0.42432548) × R
    8.7370000000031e-05 × 6371000     		dr = 556.634270000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48799764-0.48809351) × cos(0.42441285) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911280670049049 × 6371000     		do = 556.599088303352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48799764-0.48809351) × cos(0.42432548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911316644295714 × 6371000     		du = 556.62106093325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42441285)-sin(0.42432548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911280670049049-0.911316644295714)×R²
    abs(0.48809351-0.48799764)×3.59742466649049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59742466649049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59742466649049e-05×40589641000000     		ar = 309828.242756941m²