Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37858 / 27364
↖ ↑ ↗
← N 28.439714°
E 27.960205°		 ← 537.08 m → N 28.439714°
E 27.965698°		 →
↑
537.08 m
↓
↑
537.08 m
↓
N 28.434884°
E 27.960205°		 ← 537.10 m →
288 457 m²		 N 28.434884°
E 27.965698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577674865722656 y=0.417549133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577674865722656 × 216)
    floor (0.577674865722656 × 65536)
    floor (37858.5)     		tx = 37858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417549133300781 × 216)
    floor (0.417549133300781 × 65536)
    floor (27364.5)     		ty = 27364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37858 / 27364 ti = "16/37858/27364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37858/27364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37858 ÷ 216
    37858 ÷ 65536     		x = 0.577667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27364 ÷ 216
    27364 ÷ 65536     		y = 0.41754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577667236328125 × 2 - 1) × π
    0.15533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48799764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41754150390625 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.518102011093567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48799764} λ = 0.48799764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518102011093567))-π/2
    2×atan(1.67883820759977)-π/2
    2×1.03358148560697-π/2
    2.06716297121394-1.57079632675     		φ = 0.49636664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48799764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.960205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49636664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.439714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37858 KachelY 27364 0.48799764 0.49636664 27.960205 28.439714
    Oben rechts KachelX + 1 37859 KachelY 27364 0.48809351 0.49636664 27.965698 28.439714
    Unten links KachelX 37858 KachelY + 1 27365 0.48799764 0.49628234 27.960205 28.434884
    Unten rechts KachelX + 1 37859 KachelY + 1 27365 0.48809351 0.49628234 27.965698 28.434884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49636664-0.49628234) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dl = 537.075300000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49636664-0.49628234) × R
    8.43000000000371e-05 × 6371000     		dr = 537.075300000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48799764-0.48809351) × cos(0.49636664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879318691021593 × 6371000     		do = 537.077102408386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48799764-0.48809351) × cos(0.49628234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879358834407102 × 6371000     		du = 537.101621497301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49636664)-sin(0.49628234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879318691021593-0.879358834407102)×R²
    abs(0.48809351-0.48799764)×4.01433855088396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01433855088396e-05×40589641000000     		ar = 288457.430368696m²