Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37856 / 27747
↖ ↑ ↗
← N 26.573789°
E 27.949219°		 ← 546.26 m → N 26.573789°
E 27.954712°		 →
↑
546.31 m
↓
↑
546.31 m
↓
N 26.568876°
E 27.949219°		 ← 546.29 m →
298 437 m²		 N 26.568876°
E 27.954712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577644348144531 y=0.423393249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577644348144531 × 216)
    floor (0.577644348144531 × 65536)
    floor (37856.5)     		tx = 37856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423393249511719 × 216)
    floor (0.423393249511719 × 65536)
    floor (27747.5)     		ty = 27747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37856 / 27747 ti = "16/37856/27747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37856/27747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37856 ÷ 216
    37856 ÷ 65536     		x = 0.57763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27747 ÷ 216
    27747 ÷ 65536     		y = 0.423385620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423385620117188 × 2 - 1) × π
    0.153228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.481382345984604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48780589} λ = 0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481382345984604))-π/2
    2×atan(1.61830992092778)-π/2
    2×1.01729822426587-π/2
    2.03459644853174-1.57079632675     		φ = 0.46380012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46380012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.573789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37856 KachelY 27747 0.48780589 0.46380012 27.949219 26.573789
    Oben rechts KachelX + 1 37857 KachelY 27747 0.48790176 0.46380012 27.954712 26.573789
    Unten links KachelX 37856 KachelY + 1 27748 0.48780589 0.46371437 27.949219 26.568876
    Unten rechts KachelX + 1 37857 KachelY + 1 27748 0.48790176 0.46371437 27.954712 26.568876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46380012-0.46371437) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dl = 546.313249999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46380012-0.46371437) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dr = 546.313249999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48780589-0.48790176) × cos(0.46380012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894358975605866 × 6371000     		do = 546.263524289779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48780589-0.48790176) × cos(0.46371437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894397332580204 × 6371000     		du = 546.286952260599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46380012)-sin(0.46371437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894358975605866-0.894397332580204)×R²
    abs(0.48790176-0.48780589)×3.83569743385159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83569743385159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83569743385159e-05×40589641000000     		ar = 298437.400999587m²