Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37855 / 28267
↖ ↑ ↗
← N 23.991272°
E 27.943726°		 ← 558.02 m → N 23.991272°
E 27.949219°		 →
↑
558.10 m
↓
↑
558.10 m
↓
N 23.986252°
E 27.943726°		 ← 558.04 m →
311 437 m²		 N 23.986252°
E 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577629089355469 y=0.431327819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577629089355469 × 216)
    floor (0.577629089355469 × 65536)
    floor (37855.5)     		tx = 37855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431327819824219 × 216)
    floor (0.431327819824219 × 65536)
    floor (28267.5)     		ty = 28267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37855 / 28267 ti = "16/37855/28267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37855/28267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37855 ÷ 216
    37855 ÷ 65536     		x = 0.577621459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28267 ÷ 216
    28267 ÷ 65536     		y = 0.431320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577621459960938 × 2 - 1) × π
    0.155242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48771002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431320190429688 × 2 - 1) × π
    0.137359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.431527970379745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48771002} λ = 0.48771002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431527970379745))-π/2
    2×atan(1.5396082029372)-π/2
    2×0.994761501293297-π/2
    1.98952300258659-1.57079632675     		φ = 0.41872668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48771002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.943726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41872668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.991272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37855 KachelY 28267 0.48771002 0.41872668 27.943726 23.991272
    Oben rechts KachelX + 1 37856 KachelY 28267 0.48780589 0.41872668 27.949219 23.991272
    Unten links KachelX 37855 KachelY + 1 28268 0.48771002 0.41863908 27.943726 23.986252
    Unten rechts KachelX + 1 37856 KachelY + 1 28268 0.48780589 0.41863908 27.949219 23.986252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41872668-0.41863908) × R
    8.7600000000021e-05 × 6371000     		dl = 558.099600000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41872668-0.41863908) × R
    8.7600000000021e-05 × 6371000     		dr = 558.099600000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48771002-0.48780589) × cos(0.41872668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913607409496639 × 6371000     		do = 558.020232301917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48771002-0.48780589) × cos(0.41863908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913643023929424 × 6371000     		du = 558.041985161897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41872668)-sin(0.41863908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913607409496639-0.913643023929424)×R²
    abs(0.48780589-0.48771002)×3.56144327846586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56144327846586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56144327846586e-05×40589641000000     		ar = 311436.938769997m²