Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37854 / 27360
↖ ↑ ↗
← N 28.459033°
E 27.938232°		 ← 537.04 m → N 28.459033°
E 27.943726°		 →
↑
537.01 m
↓
↑
537.01 m
↓
N 28.454204°
E 27.938232°		 ← 537.06 m →
288 401 m²		 N 28.454204°
E 27.943726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577613830566406 y=0.417488098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577613830566406 × 216)
    floor (0.577613830566406 × 65536)
    floor (37854.5)     		tx = 37854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417488098144531 × 216)
    floor (0.417488098144531 × 65536)
    floor (27360.5)     		ty = 27360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37854 / 27360 ti = "16/37854/27360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37854/27360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37854 ÷ 216
    37854 ÷ 65536     		x = 0.577606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27360 ÷ 216
    27360 ÷ 65536     		y = 0.41748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577606201171875 × 2 - 1) × π
    0.15521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48761414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48761414} λ = 0.48761414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518485506290527))-π/2
    2×atan(1.6794821574568)-π/2
    2×1.03375007745495-π/2
    2.06750015490991-1.57079632675     		φ = 0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48761414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37854 KachelY 27360 0.48761414 0.49670383 27.938232 28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 37855 KachelY 27360 0.48771002 0.49670383 27.943726 28.459033
    Unten links KachelX 37854 KachelY + 1 27361 0.48761414 0.49661954 27.938232 28.454204
    Unten rechts KachelX + 1 37855 KachelY + 1 27361 0.48771002 0.49661954 27.943726 28.454204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49670383-0.49661954) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dl = 537.011589999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49670383-0.49661954) × R
    8.42899999999869e-05 × 6371000     		dr = 537.011589999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48761414-0.48771002) × cos(0.49670383) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 537.035001957995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48761414-0.48771002) × cos(0.49661954) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.879198223372991 × 6371000     		du = 537.059535961032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49670383)-sin(0.49661954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.879198223372991)×R²
    abs(0.48771002-0.48761414)×4.01636139719663e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.01636139719663e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.01636139719663e-05×40589641000000     		ar = 288400.607979878m²