Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37852 / 28257
↖ ↑ ↗
← N 24.041448°
E 27.927246°		 ← 557.80 m → N 24.041448°
E 27.932739°		 →
↑
557.84 m
↓
↑
557.84 m
↓
N 24.036431°
E 27.927246°		 ← 557.82 m →
311 173 m²		 N 24.036431°
E 27.932739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577583312988281 y=0.431175231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577583312988281 × 216)
    floor (0.577583312988281 × 65536)
    floor (37852.5)     		tx = 37852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431175231933594 × 216)
    floor (0.431175231933594 × 65536)
    floor (28257.5)     		ty = 28257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37852 / 28257 ti = "16/37852/28257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37852/28257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37852 ÷ 216
    37852 ÷ 65536     		x = 0.57757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28257 ÷ 216
    28257 ÷ 65536     		y = 0.431167602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57757568359375 × 2 - 1) × π
    0.1551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48742240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431167602539062 × 2 - 1) × π
    0.137664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.432486708372147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48742240} λ = 0.48742240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432486708372147))-π/2
    2×atan(1.54108499162836)-π/2
    2×0.995199370954128-π/2
    1.99039874190826-1.57079632675     		φ = 0.41960242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48742240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41960242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.041448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37852 KachelY 28257 0.48742240 0.41960242 27.927246 24.041448
    Oben rechts KachelX + 1 37853 KachelY 28257 0.48751827 0.41960242 27.932739 24.041448
    Unten links KachelX 37852 KachelY + 1 28258 0.48742240 0.41951486 27.927246 24.036431
    Unten rechts KachelX + 1 37853 KachelY + 1 28258 0.48751827 0.41951486 27.932739 24.036431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41960242-0.41951486) × R
    8.75599999999865e-05 × 6371000     		dl = 557.844759999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41960242-0.41951486) × R
    8.75599999999865e-05 × 6371000     		dr = 557.844759999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48742240-0.48751827) × cos(0.41960242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913250985543047 × 6371000     		do = 557.802532910128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48742240-0.48751827) × cos(0.41951486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913286653758067 × 6371000     		du = 557.82431861964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41960242)-sin(0.41951486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913250985543047-0.913286653758067)×R²
    abs(0.48751827-0.48742240)×3.56682150203236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56682150203236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56682150203236e-05×40589641000000     		ar = 311173.296819455m²