Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37850 / 30700
↖ ↑ ↗
← N 11.286161°
E 27.916260°		 ← 598.98 m → N 11.286161°
E 27.921753°		 →
↑
599.07 m
↓
↑
599.07 m
↓
N 11.280774°
E 27.916260°		 ← 598.99 m →
358 829 m²		 N 11.280774°
E 27.921753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577552795410156 y=0.468452453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577552795410156 × 216)
    floor (0.577552795410156 × 65536)
    floor (37850.5)     		tx = 37850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468452453613281 × 216)
    floor (0.468452453613281 × 65536)
    floor (30700.5)     		ty = 30700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37850 / 30700 ti = "16/37850/30700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37850/30700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37850 ÷ 216
    37850 ÷ 65536     		x = 0.577545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30700 ÷ 216
    30700 ÷ 65536     		y = 0.46844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577545166015625 × 2 - 1) × π
    0.15509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48723065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    0.0631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.198267016828552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48723065} λ = 0.48723065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198267016828552))-π/2
    2×atan(1.21928792075282)-π/2
    2×0.883888496056743-π/2
    1.76777699211349-1.57079632675     		φ = 0.19698067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48723065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19698067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.286161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37850 KachelY 30700 0.48723065 0.19698067 27.916260 11.286161
    Oben rechts KachelX + 1 37851 KachelY 30700 0.48732652 0.19698067 27.921753 11.286161
    Unten links KachelX 37850 KachelY + 1 30701 0.48723065 0.19688664 27.916260 11.280774
    Unten rechts KachelX + 1 37851 KachelY + 1 30701 0.48732652 0.19688664 27.921753 11.280774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19698067-0.19688664) × R
    9.4029999999995e-05 × 6371000     		dl = 599.065129999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19698067-0.19688664) × R
    9.4029999999995e-05 × 6371000     		dr = 599.065129999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48723065-0.48732652) × cos(0.19698067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980661957887019 × 6371000     		do = 598.976330381633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48723065-0.48732652) × cos(0.19688664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980680356095758 × 6371000     		du = 598.987567782521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19698067)-sin(0.19688664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980661957887019-0.980680356095758)×R²
    abs(0.48732652-0.48723065)×1.83982087393897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83982087393897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83982087393897e-05×40589641000000     		ar = 358829.199458833m²