Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3785 / 3488
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 13.666992°		 ← 4 399.41 m → N 25.799891°
W 13.623047°		 →
↑
4 400.13 m
↓
↑
4 400.13 m
↓
N 25.760320°
W 13.666992°		 ← 4 400.87 m →
19 361 192 m²		 N 25.760320°
W 13.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46209716796875 y=0.42584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46209716796875 × 213)
    floor (0.46209716796875 × 8192)
    floor (3785.5)     		tx = 3785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42584228515625 × 213)
    floor (0.42584228515625 × 8192)
    floor (3488.5)     		ty = 3488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3785 / 3488 ti = "13/3785/3488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3785/3488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3785 ÷ 213
    3785 ÷ 8192     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3488 ÷ 213
    3488 ÷ 8192     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3785 KachelY 3488 -0.23853401 0.45029305 -13.666992 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 3786 KachelY 3488 -0.23776702 0.45029305 -13.623047 25.799891
    Unten links KachelX 3785 KachelY + 1 3489 -0.23853401 0.44960240 -13.666992 25.760320
    Unten rechts KachelX + 1 3786 KachelY + 1 3489 -0.23776702 0.44960240 -13.623047 25.760320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.44960240) × R
    0.000690649999999959 × 6371000     		dl = 4400.13114999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.44960240) × R
    0.000690649999999959 × 6371000     		dr = 4400.13114999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23776702) × cos(0.45029305) × R
    0.000766989999999995 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 4399.40566979288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23776702) × cos(0.44960240) × R
    0.000766989999999995 × 0.900619973470552 × 6371000     		du = 4400.8734572038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.44960240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900619973470552)×R²
    abs(-0.23776702--0.23853401)×0.000300376430255489×R²
    0.000766989999999995×0.000300376430255489×6371000²
    0.000766989999999995×0.000300376430255489×40589641000000     		ar = 19361191.9272999m²