Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3785 / 2105
↖ ↑ ↗
← N 65.494741°
W 13.666992°		 ← 2 026.80 m → N 65.494741°
W 13.623047°		 →
↑
2 027.51 m
↓
↑
2 027.51 m
↓
N 65.476508°
W 13.666992°		 ← 2 028.22 m →
4 110 793 m²		 N 65.476508°
W 13.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46209716796875 y=0.25701904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46209716796875 × 213)
    floor (0.46209716796875 × 8192)
    floor (3785.5)     		tx = 3785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25701904296875 × 213)
    floor (0.25701904296875 × 8192)
    floor (2105.5)     		ty = 2105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3785 / 2105 ti = "13/3785/2105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3785/2105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3785 ÷ 213
    3785 ÷ 8192     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2105 ÷ 213
    2105 ÷ 8192     		y = 0.2569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2569580078125 × 2 - 1) × π
    0.486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52707787429651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52707787429651))-π/2
    2×atan(4.60470162680016)-π/2
    2×1.35694760363539-π/2
    2.71389520727078-1.57079632675     		φ = 1.14309888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14309888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.494741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3785 KachelY 2105 -0.23853401 1.14309888 -13.666992 65.494741
    Oben rechts KachelX + 1 3786 KachelY 2105 -0.23776702 1.14309888 -13.623047 65.494741
    Unten links KachelX 3785 KachelY + 1 2106 -0.23853401 1.14278064 -13.666992 65.476508
    Unten rechts KachelX + 1 3786 KachelY + 1 2106 -0.23776702 1.14278064 -13.623047 65.476508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14309888-1.14278064) × R
    0.000318239999999914 × 6371000     		dl = 2027.50703999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14309888-1.14278064) × R
    0.000318239999999914 × 6371000     		dr = 2027.50703999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23776702) × cos(1.14309888) × R
    0.000766989999999995 × 0.41477675720618 × 6371000     		do = 2026.80384093595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23776702) × cos(1.14278064) × R
    0.000766989999999995 × 0.415066310158911 × 6371000     		du = 2028.21873949656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14309888)-sin(1.14278064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41477675720618-0.415066310158911)×R²
    abs(-0.23776702--0.23853401)×0.000289552952730698×R²
    0.000766989999999995×0.000289552952730698×6371000²
    0.000766989999999995×0.000289552952730698×40589641000000     		ar = 4110793.44928523m²