Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37849 / 30715
↖ ↑ ↗
← N 11.205345°
E 27.910766°		 ← 599.21 m → N 11.205345°
E 27.916260°		 →
↑
599.19 m
↓
↑
599.19 m
↓
N 11.199957°
E 27.910766°		 ← 599.22 m →
359 044 m²		 N 11.199957°
E 27.916260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577537536621094 y=0.468681335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577537536621094 × 216)
    floor (0.577537536621094 × 65536)
    floor (37849.5)     		tx = 37849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468681335449219 × 216)
    floor (0.468681335449219 × 65536)
    floor (30715.5)     		ty = 30715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37849 / 30715 ti = "16/37849/30715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37849/30715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37849 ÷ 216
    37849 ÷ 65536     		x = 0.577529907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30715 ÷ 216
    30715 ÷ 65536     		y = 0.468673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577529907226562 × 2 - 1) × π
    0.155059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48713477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468673706054688 × 2 - 1) × π
    0.062652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.196828909839951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48713477} λ = 0.48713477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.196828909839951))-π/2
    2×atan(1.21753571450487)-π/2
    2×0.883183248640737-π/2
    1.76636649728147-1.57079632675     		φ = 0.19557017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48713477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.910766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19557017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.205345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37849 KachelY 30715 0.48713477 0.19557017 27.910766 11.205345
    Oben rechts KachelX + 1 37850 KachelY 30715 0.48723065 0.19557017 27.916260 11.205345
    Unten links KachelX 37849 KachelY + 1 30716 0.48713477 0.19547612 27.910766 11.199957
    Unten rechts KachelX + 1 37850 KachelY + 1 30716 0.48723065 0.19547612 27.916260 11.199957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19557017-0.19547612) × R
    9.40499999999844e-05 × 6371000     		dl = 599.192549999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19557017-0.19547612) × R
    9.40499999999844e-05 × 6371000     		dr = 599.192549999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48713477-0.48723065) × cos(0.19557017) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980937030224057 × 6371000     		do = 599.206836699124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48713477-0.48723065) × cos(0.19547612) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980955302233466 × 6371000     		du = 599.217998183114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19557017)-sin(0.19547612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980937030224057-0.980955302233466)×R²
    abs(0.48723065-0.48713477)×1.82720094091815e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.82720094091815e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.82720094091815e-05×40589641000000     		ar = 359043.616662781m²