Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37848 / 28278
↖ ↑ ↗
← N 23.936055°
E 27.905273°		 ← 558.26 m → N 23.936055°
E 27.910766°		 →
↑
558.29 m
↓
↑
558.29 m
↓
N 23.931034°
E 27.905273°		 ← 558.28 m →
311 677 m²		 N 23.931034°
E 27.910766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577522277832031 y=0.431495666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577522277832031 × 216)
    floor (0.577522277832031 × 65536)
    floor (37848.5)     		tx = 37848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431495666503906 × 216)
    floor (0.431495666503906 × 65536)
    floor (28278.5)     		ty = 28278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37848 / 28278 ti = "16/37848/28278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37848/28278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37848 ÷ 216
    37848 ÷ 65536     		x = 0.5775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28278 ÷ 216
    28278 ÷ 65536     		y = 0.431488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5775146484375 × 2 - 1) × π
    0.155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48703890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431488037109375 × 2 - 1) × π
    0.13702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.430473358588104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48703890} λ = 0.48703890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430473358588104))-π/2
    2×atan(1.53798536985174)-π/2
    2×0.994279647490794-π/2
    1.98855929498159-1.57079632675     		φ = 0.41776297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48703890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.905273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41776297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.936055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37848 KachelY 28278 0.48703890 0.41776297 27.905273 23.936055
    Oben rechts KachelX + 1 37849 KachelY 28278 0.48713477 0.41776297 27.910766 23.936055
    Unten links KachelX 37848 KachelY + 1 28279 0.48703890 0.41767534 27.905273 23.931034
    Unten rechts KachelX + 1 37849 KachelY + 1 28279 0.48713477 0.41767534 27.910766 23.931034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41776297-0.41767534) × R
    8.76300000000052e-05 × 6371000     		dl = 558.290730000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41776297-0.41767534) × R
    8.76300000000052e-05 × 6371000     		dr = 558.290730000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48703890-0.48713477) × cos(0.41776297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913998827231809 × 6371000     		do = 558.25930546752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48703890-0.48713477) × cos(0.41767534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914034376688019 × 6371000     		du = 558.281018640603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41776297)-sin(0.41767534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913998827231809-0.914034376688019)×R²
    abs(0.48713477-0.48703890)×3.55494562099823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55494562099823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55494562099823e-05×40589641000000     		ar = 311677.056509857m²