Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3784 / 2696
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
W 96.855469°		 ← 585.17 m → N 76.142959°
W 96.833496°		 →
↑
585.30 m
↓
↑
585.30 m
↓
N 76.137695°
W 96.855469°		 ← 585.38 m →
342 563 m²		 N 76.137695°
W 96.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230987548828125 y=0.164581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230987548828125 × 214)
    floor (0.230987548828125 × 16384)
    floor (3784.5)     		tx = 3784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164581298828125 × 214)
    floor (0.164581298828125 × 16384)
    floor (2696.5)     		ty = 2696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3784 / 2696 ti = "14/3784/2696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3784/2696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3784 ÷ 214
    3784 ÷ 16384     		x = 0.23095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2696 ÷ 214
    2696 ÷ 16384     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69044683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69044683} λ = -1.69044683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69044683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3784 KachelY 2696 -1.69044683 1.32894533 -96.855469 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 3785 KachelY 2696 -1.69006333 1.32894533 -96.833496 76.142959
    Unten links KachelX 3784 KachelY + 1 2697 -1.69044683 1.32885346 -96.855469 76.137695
    Unten rechts KachelX + 1 3785 KachelY + 1 2697 -1.69006333 1.32885346 -96.833496 76.137695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32885346) × R
    9.18700000001049e-05 × 6371000     		dl = 585.303770000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32885346) × R
    9.18700000001049e-05 × 6371000     		dr = 585.303770000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69044683--1.69006333) × cos(1.32894533) × R
    0.00038349999999987 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 585.165595758798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69044683--1.69006333) × cos(1.32885346) × R
    0.00038349999999987 × 0.23958935690619 × 6371000     		du = 585.383524557522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32885346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.23958935690619)×R²
    abs(-1.69006333--1.69044683)×8.9195234486722e-05×R²
    0.00038349999999987×8.9195234486722e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.9195234486722e-05×40589641000000     		ar = 342563.406786503m²