Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3784 / 2535
↖ ↑ ↗
← N 56.389584°
W 13.710937°		 ← 2 704.88 m → N 56.389584°
W 13.666992°		 →
↑
2 705.76 m
↓
↑
2 705.76 m
↓
N 56.365250°
W 13.710937°		 ← 2 706.61 m →
7 321 115 m²		 N 56.365250°
W 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46197509765625 y=0.30950927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46197509765625 × 213)
    floor (0.46197509765625 × 8192)
    floor (3784.5)     		tx = 3784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30950927734375 × 213)
    floor (0.30950927734375 × 8192)
    floor (2535.5)     		ty = 2535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3784 / 2535 ti = "13/3784/2535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3784/2535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3784 ÷ 213
    3784 ÷ 8192     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2535 ÷ 213
    2535 ÷ 8192     		y = 0.3094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3094482421875 × 2 - 1) × π
    0.381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19727200491052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19727200491052))-π/2
    2×atan(3.31107200293256)-π/2
    2×1.27749011156313-π/2
    2.55498022312625-1.57079632675     		φ = 0.98418390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98418390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.389584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3784 KachelY 2535 -0.23930100 0.98418390 -13.710937 56.389584
    Oben rechts KachelX + 1 3785 KachelY 2535 -0.23853401 0.98418390 -13.666992 56.389584
    Unten links KachelX 3784 KachelY + 1 2536 -0.23930100 0.98375920 -13.710937 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 3785 KachelY + 1 2536 -0.23853401 0.98375920 -13.666992 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98418390-0.98375920) × R
    0.000424700000000056 × 6371000     		dl = 2705.76370000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98418390-0.98375920) × R
    0.000424700000000056 × 6371000     		dr = 2705.76370000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23853401) × cos(0.98418390) × R
    0.000766990000000023 × 0.553542963617229 × 6371000     		do = 2704.88397744238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23853401) × cos(0.98375920) × R
    0.000766990000000023 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 2706.61208083939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98418390)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553542963617229-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.23853401--0.23930100)×0.000353648985979671×R²
    0.000766990000000023×0.000353648985979671×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353648985979671×40589641000000     		ar = 7321114.90863898m²