Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3784 / 2059
↖ ↑ ↗
← N 66.319861°
W 13.710937°		 ← 1 962.56 m → N 66.319861°
W 13.666992°		 →
↑
1 963.22 m
↓
↑
1 963.22 m
↓
N 66.302206°
W 13.710937°		 ← 1 963.94 m →
3 854 306 m²		 N 66.302206°
W 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46197509765625 y=0.25140380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46197509765625 × 213)
    floor (0.46197509765625 × 8192)
    floor (3784.5)     		tx = 3784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25140380859375 × 213)
    floor (0.25140380859375 × 8192)
    floor (2059.5)     		ty = 2059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3784 / 2059 ti = "13/3784/2059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3784/2059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3784 ÷ 213
    3784 ÷ 8192     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2059 ÷ 213
    2059 ÷ 8192     		y = 0.2513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2513427734375 × 2 - 1) × π
    0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56235943241687))-π/2
    2×atan(4.77006261866529)-π/2
    2×1.36414813424399-π/2
    2.72829626848799-1.57079632675     		φ = 1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3784 KachelY 2059 -0.23930100 1.15749994 -13.710937 66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 3785 KachelY 2059 -0.23853401 1.15749994 -13.666992 66.319861
    Unten links KachelX 3784 KachelY + 1 2060 -0.23930100 1.15719179 -13.710937 66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 3785 KachelY + 1 2060 -0.23853401 1.15719179 -13.666992 66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15749994-1.15719179) × R
    0.000308149999999952 × 6371000     		dl = 1963.22364999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15749994-1.15719179) × R
    0.000308149999999952 × 6371000     		dr = 1963.22364999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23853401) × cos(1.15749994) × R
    0.000766990000000023 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 1962.56397028292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23853401) × cos(1.15719179) × R
    0.000766990000000023 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 1963.94286672922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15749994)-sin(1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.401912527077093)×R²
    abs(-0.23853401--0.23930100)×0.000282185273664193×R²
    0.000766990000000023×0.000282185273664193×6371000²
    0.000766990000000023×0.000282185273664193×40589641000000     		ar = 3854305.57265441m²