Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3783 / 5259
↖ ↑ ↗
← S 45.429299°
W 13.754883°		 ← 3 429.29 m → S 45.429299°
W 13.710937°		 →
↑
3 428.36 m
↓
↑
3 428.36 m
↓
S 45.460131°
W 13.754883°		 ← 3 427.41 m →
11 753 626 m²		 S 45.460131°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46185302734375 y=0.64202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46185302734375 × 213)
    floor (0.46185302734375 × 8192)
    floor (3783.5)     		tx = 3783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64202880859375 × 213)
    floor (0.64202880859375 × 8192)
    floor (5259.5)     		ty = 5259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3783 / 5259 ti = "13/3783/5259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3783/5259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3783 ÷ 213
    3783 ÷ 8192     		x = 0.4617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5259 ÷ 213
    5259 ÷ 8192     		y = 0.6419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.283935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892009828130005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24006799} λ = -0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892009828130005))-π/2
    2×atan(0.409831234116637)-π/2
    2×0.388952743528645-π/2
    0.77790548705729-1.57079632675     		φ = -0.79289084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79289084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.429299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3783 KachelY 5259 -0.24006799 -0.79289084 -13.754883 -45.429299
    Oben rechts KachelX + 1 3784 KachelY 5259 -0.23930100 -0.79289084 -13.710937 -45.429299
    Unten links KachelX 3783 KachelY + 1 5260 -0.24006799 -0.79342896 -13.754883 -45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 3784 KachelY + 1 5260 -0.23930100 -0.79342896 -13.710937 -45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79289084--0.79342896) × R
    0.000538119999999975 × 6371000     		dl = 3428.36251999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79289084--0.79342896) × R
    0.000538119999999975 × 6371000     		dr = 3428.36251999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24006799--0.23930100) × cos(-0.79289084) × R
    0.000766989999999995 × 0.701788859858306 × 6371000     		do = 3429.28655469434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24006799--0.23930100) × cos(-0.79342896) × R
    0.000766989999999995 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 3427.41282781466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79289084)-sin(-0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701788859858306-0.701405409648006)×R²
    abs(-0.23930100--0.24006799)×0.000383450210300174×R²
    0.000766989999999995×0.000383450210300174×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383450210300174×40589641000000     		ar = 11753625.8705777m²