Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3782 / 2525
↖ ↑ ↗
← N 56.632063°
W 13.798828°		 ← 2 687.64 m → N 56.632063°
W 13.754883°		 →
↑
2 688.50 m
↓
↑
2 688.50 m
↓
N 56.607885°
W 13.798828°		 ← 2 689.36 m →
7 228 022 m²		 N 56.607885°
W 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46173095703125 y=0.30828857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46173095703125 × 213)
    floor (0.46173095703125 × 8192)
    floor (3782.5)     		tx = 3782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30828857421875 × 213)
    floor (0.30828857421875 × 8192)
    floor (2525.5)     		ty = 2525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3782 / 2525 ti = "13/3782/2525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3782/2525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3782 ÷ 213
    3782 ÷ 8192     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2525 ÷ 213
    2525 ÷ 8192     		y = 0.3082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3082275390625 × 2 - 1) × π
    0.383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20494190884973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20494190884973))-π/2
    2×atan(3.33656524752438)-π/2
    2×1.27960615044935-π/2
    2.55921230089869-1.57079632675     		φ = 0.98841597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98841597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.632063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3782 KachelY 2525 -0.24083498 0.98841597 -13.798828 56.632063
    Oben rechts KachelX + 1 3783 KachelY 2525 -0.24006799 0.98841597 -13.754883 56.632063
    Unten links KachelX 3782 KachelY + 1 2526 -0.24083498 0.98799398 -13.798828 56.607885
    Unten rechts KachelX + 1 3783 KachelY + 1 2526 -0.24006799 0.98799398 -13.754883 56.607885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98841597-0.98799398) × R
    0.000421989999999983 × 6371000     		dl = 2688.49828999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98841597-0.98799398) × R
    0.000421989999999983 × 6371000     		dr = 2688.49828999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24006799) × cos(0.98841597) × R
    0.000766989999999995 × 0.550013461885939 × 6371000     		do = 2687.6370909153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24006799) × cos(0.98799398) × R
    0.000766989999999995 × 0.550365840294863 × 6371000     		du = 2689.35898564604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98841597)-sin(0.98799398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550013461885939-0.550365840294863)×R²
    abs(-0.24006799--0.24083498)×0.000352378408923992×R²
    0.000766989999999995×0.000352378408923992×6371000²
    0.000766989999999995×0.000352378408923992×40589641000000     		ar = 7228022.48584689m²