Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37818 / 28954
↖ ↑ ↗
← N 20.499065°
E 27.740479°		 ← 572.11 m → N 20.499065°
E 27.745972°		 →
↑
572.18 m
↓
↑
572.18 m
↓
N 20.493919°
E 27.740479°		 ← 572.13 m →
327 356 m²		 N 20.493919°
E 27.745972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577064514160156 y=0.441810607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577064514160156 × 216)
    floor (0.577064514160156 × 65536)
    floor (37818.5)     		tx = 37818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441810607910156 × 216)
    floor (0.441810607910156 × 65536)
    floor (28954.5)     		ty = 28954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37818 / 28954 ti = "16/37818/28954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37818/28954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37818 ÷ 216
    37818 ÷ 65536     		x = 0.577056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28954 ÷ 216
    28954 ÷ 65536     		y = 0.441802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577056884765625 × 2 - 1) × π
    0.15411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48416269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441802978515625 × 2 - 1) × π
    0.11639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.365662670301788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48416269} λ = 0.48416269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365662670301788))-π/2
    2×atan(1.44146891035945)-π/2
    2×0.964286246054318-π/2
    1.92857249210864-1.57079632675     		φ = 0.35777617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48416269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.740479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35777617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.499065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37818 KachelY 28954 0.48416269 0.35777617 27.740479 20.499065
    Oben rechts KachelX + 1 37819 KachelY 28954 0.48425856 0.35777617 27.745972 20.499065
    Unten links KachelX 37818 KachelY + 1 28955 0.48416269 0.35768636 27.740479 20.493919
    Unten rechts KachelX + 1 37819 KachelY + 1 28955 0.48425856 0.35768636 27.745972 20.493919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35777617-0.35768636) × R
    8.98100000000235e-05 × 6371000     		dl = 572.17951000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35777617-0.35768636) × R
    8.98100000000235e-05 × 6371000     		dr = 572.17951000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48416269-0.48425856) × cos(0.35777617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936677906839994 × 6371000     		do = 572.111409927055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48416269-0.48425856) × cos(0.35768636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.936709353813873 × 6371000     		du = 572.130617354104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35777617)-sin(0.35768636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936677906839994-0.936709353813873)×R²
    abs(0.48425856-0.48416269)×3.14469738794676e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14469738794676e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14469738794676e-05×40589641000000     		ar = 327355.92146568m²