Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37816 / 28411
↖ ↑ ↗
← N 23.266581°
E 27.729492°		 ← 561.12 m → N 23.266581°
E 27.734985°		 →
↑
561.16 m
↓
↑
561.16 m
↓
N 23.261534°
E 27.729492°		 ← 561.14 m →
314 881 m²		 N 23.261534°
E 27.734985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577033996582031 y=0.433525085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577033996582031 × 216)
    floor (0.577033996582031 × 65536)
    floor (37816.5)     		tx = 37816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433525085449219 × 216)
    floor (0.433525085449219 × 65536)
    floor (28411.5)     		ty = 28411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37816 / 28411 ti = "16/37816/28411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37816/28411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37816 ÷ 216
    37816 ÷ 65536     		x = 0.5770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28411 ÷ 216
    28411 ÷ 65536     		y = 0.433517456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5770263671875 × 2 - 1) × π
    0.154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48397094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433517456054688 × 2 - 1) × π
    0.132965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.417722143289169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48397094} λ = 0.48397094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417722143289169))-π/2
    2×atan(1.51849869072785)-π/2
    2×0.988437382895294-π/2
    1.97687476579059-1.57079632675     		φ = 0.40607844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48397094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40607844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.266581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37816 KachelY 28411 0.48397094 0.40607844 27.729492 23.266581
    Oben rechts KachelX + 1 37817 KachelY 28411 0.48406681 0.40607844 27.734985 23.266581
    Unten links KachelX 37816 KachelY + 1 28412 0.48397094 0.40599036 27.729492 23.261534
    Unten rechts KachelX + 1 37817 KachelY + 1 28412 0.48406681 0.40599036 27.734985 23.261534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40607844-0.40599036) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dl = 561.157679999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40607844-0.40599036) × R
    8.80799999999904e-05 × 6371000     		dr = 561.157679999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48397094-0.48406681) × cos(0.40607844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918676937183127 × 6371000     		do = 561.1166378125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48397094-0.48406681) × cos(0.40599036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918711726076322 × 6371000     		du = 561.137886442995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40607844)-sin(0.40599036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918676937183127-0.918711726076322)×R²
    abs(0.48406681-0.48397094)×3.47888931955254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47888931955254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47888931955254e-05×40589641000000     		ar = 314880.87280399m²