Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37815 / 28270
↖ ↑ ↗
← N 23.976215°
E 27.723999°		 ← 558.14 m → N 23.976215°
E 27.729492°		 →
↑
558.16 m
↓
↑
558.16 m
↓
N 23.971195°
E 27.723999°		 ← 558.17 m →
311 541 m²		 N 23.971195°
E 27.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577018737792969 y=0.431373596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577018737792969 × 216)
    floor (0.577018737792969 × 65536)
    floor (37815.5)     		tx = 37815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431373596191406 × 216)
    floor (0.431373596191406 × 65536)
    floor (28270.5)     		ty = 28270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37815 / 28270 ti = "16/37815/28270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37815/28270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37815 ÷ 216
    37815 ÷ 65536     		x = 0.577011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28270 ÷ 216
    28270 ÷ 65536     		y = 0.431365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577011108398438 × 2 - 1) × π
    0.154022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48387506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431365966796875 × 2 - 1) × π
    0.13726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.431240348982025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48387506} λ = 0.48387506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431240348982025))-π/2
    2×atan(1.53916544235069)-π/2
    2×0.994630107091648-π/2
    1.9892602141833-1.57079632675     		φ = 0.41846389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48387506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.723999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41846389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.976215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37815 KachelY 28270 0.48387506 0.41846389 27.723999 23.976215
    Oben rechts KachelX + 1 37816 KachelY 28270 0.48397094 0.41846389 27.729492 23.976215
    Unten links KachelX 37815 KachelY + 1 28271 0.48387506 0.41837628 27.723999 23.971195
    Unten rechts KachelX + 1 37816 KachelY + 1 28271 0.48397094 0.41837628 27.729492 23.971195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41846389-0.41837628) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dl = 558.1633100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41846389-0.41837628) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dr = 558.1633100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48387506-0.48397094) × cos(0.41846389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913714227697914 × 6371000     		do = 558.143688286285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48387506-0.48397094) × cos(0.41837628) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913749825160221 × 6371000     		du = 558.165433048819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41846389)-sin(0.41837628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913714227697914-0.913749825160221)×R²
    abs(0.48397094-0.48387506)×3.55974623067468e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.55974623067468e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.55974623067468e-05×40589641000000     		ar = 311541.397273218m²