Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37815 / 28249
↖ ↑ ↗
← N 24.081574°
E 27.723999°		 ← 557.69 m → N 24.081574°
E 27.729492°		 →
↑
557.65 m
↓
↑
557.65 m
↓
N 24.076559°
E 27.723999°		 ← 557.71 m →
311 002 m²		 N 24.076559°
E 27.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577018737792969 y=0.431053161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577018737792969 × 216)
    floor (0.577018737792969 × 65536)
    floor (37815.5)     		tx = 37815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431053161621094 × 216)
    floor (0.431053161621094 × 65536)
    floor (28249.5)     		ty = 28249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37815 / 28249 ti = "16/37815/28249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37815/28249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37815 ÷ 216
    37815 ÷ 65536     		x = 0.577011108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28249 ÷ 216
    28249 ÷ 65536     		y = 0.431045532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577011108398438 × 2 - 1) × π
    0.154022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48387506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431045532226562 × 2 - 1) × π
    0.137908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.433253698766068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48387506} λ = 0.48387506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433253698766068))-π/2
    2×atan(1.54226744241939)-π/2
    2×0.995549543580785-π/2
    1.99109908716157-1.57079632675     		φ = 0.42030276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48387506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.723999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42030276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.081574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37815 KachelY 28249 0.48387506 0.42030276 27.723999 24.081574
    Oben rechts KachelX + 1 37816 KachelY 28249 0.48397094 0.42030276 27.729492 24.081574
    Unten links KachelX 37815 KachelY + 1 28250 0.48387506 0.42021523 27.723999 24.076559
    Unten rechts KachelX + 1 37816 KachelY + 1 28250 0.48397094 0.42021523 27.729492 24.076559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42030276-0.42021523) × R
    8.75300000000023e-05 × 6371000     		dl = 557.653630000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42030276-0.42021523) × R
    8.75300000000023e-05 × 6371000     		dr = 557.653630000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48387506-0.48397094) × cos(0.42030276) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.912965444910909 × 6371000     		do = 557.686293212644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48387506-0.48397094) × cos(0.42021523) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913001156881729 × 6371000     		du = 557.708107922874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42030276)-sin(0.42021523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912965444910909-0.913001156881729)×R²
    abs(0.48397094-0.48387506)×3.5711970820862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.5711970820862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.5711970820862e-05×40589641000000     		ar = 311001.86853605m²