Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37814 / 28264
↖ ↑ ↗
← N 24.006326°
E 27.718506°		 ← 557.95 m → N 24.006326°
E 27.723999°		 →
↑
557.97 m
↓
↑
557.97 m
↓
N 24.001308°
E 27.718506°		 ← 557.98 m →
311 329 m²		 N 24.001308°
E 27.723999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577003479003906 y=0.431282043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577003479003906 × 216)
    floor (0.577003479003906 × 65536)
    floor (37814.5)     		tx = 37814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431282043457031 × 216)
    floor (0.431282043457031 × 65536)
    floor (28264.5)     		ty = 28264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37814 / 28264 ti = "16/37814/28264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37814/28264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37814 ÷ 216
    37814 ÷ 65536     		x = 0.576995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28264 ÷ 216
    28264 ÷ 65536     		y = 0.4312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576995849609375 × 2 - 1) × π
    0.15399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48377919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4312744140625 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.431815591777466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48377919} λ = 0.48377919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431815591777466))-π/2
    2×atan(1.54005109088944)-π/2
    2×0.994892880129802-π/2
    1.9897857602596-1.57079632675     		φ = 0.41898943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48377919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.718506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41898943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.006326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37814 KachelY 28264 0.48377919 0.41898943 27.718506 24.006326
    Oben rechts KachelX + 1 37815 KachelY 28264 0.48387506 0.41898943 27.723999 24.006326
    Unten links KachelX 37814 KachelY + 1 28265 0.48377919 0.41890185 27.718506 24.001308
    Unten rechts KachelX + 1 37815 KachelY + 1 28265 0.48387506 0.41890185 27.723999 24.001308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41898943-0.41890185) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dl = 557.972179999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41898943-0.41890185) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dr = 557.972179999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48377919-0.48387506) × cos(0.41898943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913500544476431 × 6371000     		do = 557.954960454533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48377919-0.48387506) × cos(0.41890185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913536171801656 × 6371000     		du = 557.976721189058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41898943)-sin(0.41890185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913500544476431-0.913536171801656)×R²
    abs(0.48387506-0.48377919)×3.56273252254402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56273252254402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56273252254402e-05×40589641000000     		ar = 311329.416767855m²