Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3781 / 5052
↖ ↑ ↗
← S 38.685510°
W 13.842773°		 ← 3 814.34 m → S 38.685510°
W 13.798828°		 →
↑
3 813.43 m
↓
↑
3 813.43 m
↓
S 38.719805°
W 13.842773°		 ← 3 812.51 m →
14 542 218 m²		 S 38.719805°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46160888671875 y=0.61676025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46160888671875 × 213)
    floor (0.46160888671875 × 8192)
    floor (3781.5)     		tx = 3781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61676025390625 × 213)
    floor (0.61676025390625 × 8192)
    floor (5052.5)     		ty = 5052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3781 / 5052 ti = "13/3781/5052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3781/5052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3781 ÷ 213
    3781 ÷ 8192     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5052 ÷ 213
    5052 ÷ 8192     		y = 0.61669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61669921875 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733242816588379))-π/2
    2×atan(0.480348778729936)-π/2
    2×0.447803404343322-π/2
    0.895606808686645-1.57079632675     		φ = -0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3781 KachelY 5052 -0.24160197 -0.67518952 -13.842773 -38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 3782 KachelY 5052 -0.24083498 -0.67518952 -13.798828 -38.685510
    Unten links KachelX 3781 KachelY + 1 5053 -0.24160197 -0.67578808 -13.842773 -38.719805
    Unten rechts KachelX + 1 3782 KachelY + 1 5053 -0.24083498 -0.67578808 -13.798828 -38.719805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67518952--0.67578808) × R
    0.000598560000000026 × 6371000     		dl = 3813.42576000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67518952--0.67578808) × R
    0.000598560000000026 × 6371000     		dr = 3813.42576000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24083498) × cos(-0.67518952) × R
    0.000766989999999995 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 3814.34049962026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24083498) × cos(-0.67578808) × R
    0.000766989999999995 × 0.780214239669202 × 6371000     		du = 3812.51164690598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67518952)-sin(-0.67578808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.780214239669202)×R²
    abs(-0.24083498--0.24160197)×0.000374266903837572×R²
    0.000766989999999995×0.000374266903837572×6371000²
    0.000766989999999995×0.000374266903837572×40589641000000     		ar = 14542217.6558156m²