Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3781 / 2498
↖ ↑ ↗
← N 57.279043°
W 13.842773°		 ← 2 641.38 m → N 57.279043°
W 13.798828°		 →
↑
2 642.24 m
↓
↑
2 642.24 m
↓
N 57.255281°
W 13.842773°		 ← 2 643.09 m →
6 981 437 m²		 N 57.255281°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46160888671875 y=0.30499267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46160888671875 × 213)
    floor (0.46160888671875 × 8192)
    floor (3781.5)     		tx = 3781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30499267578125 × 213)
    floor (0.30499267578125 × 8192)
    floor (2498.5)     		ty = 2498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3781 / 2498 ti = "13/3781/2498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3781/2498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3781 ÷ 213
    3781 ÷ 8192     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2498 ÷ 213
    2498 ÷ 8192     		y = 0.304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304931640625 × 2 - 1) × π
    0.39013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2256506494856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2256506494856))-π/2
    2×atan(3.4063817224257)-π/2
    2×1.28525210770773-π/2
    2.57050421541546-1.57079632675     		φ = 0.99970789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99970789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.279043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3781 KachelY 2498 -0.24160197 0.99970789 -13.842773 57.279043
    Oben rechts KachelX + 1 3782 KachelY 2498 -0.24083498 0.99970789 -13.798828 57.279043
    Unten links KachelX 3781 KachelY + 1 2499 -0.24160197 0.99929316 -13.842773 57.255281
    Unten rechts KachelX + 1 3782 KachelY + 1 2499 -0.24083498 0.99929316 -13.798828 57.255281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99970789-0.99929316) × R
    0.00041473000000003 × 6371000     		dl = 2642.24483000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99970789-0.99929316) × R
    0.00041473000000003 × 6371000     		dr = 2642.24483000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24083498) × cos(0.99970789) × R
    0.000766989999999995 × 0.540548084902491 × 6371000     		do = 2641.38458979835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24083498) × cos(0.99929316) × R
    0.000766989999999995 × 0.540896956195847 × 6371000     		du = 2643.08934703242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99970789)-sin(0.99929316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540548084902491-0.540896956195847)×R²
    abs(-0.24083498--0.24160197)×0.00034887129335659×R²
    0.000766989999999995×0.00034887129335659×6371000²
    0.000766989999999995×0.00034887129335659×40589641000000     		ar = 6981437.06949866m²