Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37809 / 28913
↖ ↑ ↗
← N 20.709877°
E 27.691040°		 ← 571.38 m → N 20.709877°
E 27.696533°		 →
↑
571.35 m
↓
↑
571.35 m
↓
N 20.704739°
E 27.691040°		 ← 571.40 m →
326 464 m²		 N 20.704739°
E 27.696533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576927185058594 y=0.441184997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576927185058594 × 216)
    floor (0.576927185058594 × 65536)
    floor (37809.5)     		tx = 37809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441184997558594 × 216)
    floor (0.441184997558594 × 65536)
    floor (28913.5)     		ty = 28913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37809 / 28913 ti = "16/37809/28913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37809/28913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37809 ÷ 216
    37809 ÷ 65536     		x = 0.576919555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28913 ÷ 216
    28913 ÷ 65536     		y = 0.441177368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576919555664062 × 2 - 1) × π
    0.153839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48329982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441177368164062 × 2 - 1) × π
    0.117645263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.369593496070633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48329982} λ = 0.48329982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369593496070633))-π/2
    2×atan(1.44714622445335)-π/2
    2×0.966125934232585-π/2
    1.93225186846517-1.57079632675     		φ = 0.36145554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48329982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.691040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36145554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.709877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37809 KachelY 28913 0.48329982 0.36145554 27.691040 20.709877
    Oben rechts KachelX + 1 37810 KachelY 28913 0.48339570 0.36145554 27.696533 20.709877
    Unten links KachelX 37809 KachelY + 1 28914 0.48329982 0.36136586 27.691040 20.704739
    Unten rechts KachelX + 1 37810 KachelY + 1 28914 0.48339570 0.36136586 27.696533 20.704739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36145554-0.36136586) × R
    8.96800000000364e-05 × 6371000     		dl = 571.351280000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36145554-0.36136586) × R
    8.96800000000364e-05 × 6371000     		dr = 571.351280000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48329982-0.48339570) × cos(0.36145554) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.935383083227703 × 6371000     		do = 571.380140756562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48329982-0.48339570) × cos(0.36136586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.93541479355124 × 6371000     		du = 571.399511054626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36145554)-sin(0.36136586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935383083227703-0.93541479355124)×R²
    abs(0.48339570-0.48329982)×3.17103235372151e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.17103235372151e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.17103235372151e-05×40589641000000     		ar = 326464.308628936m²