Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37807 / 28241
↖ ↑ ↗
← N 24.121689°
E 27.680053°		 ← 557.51 m → N 24.121689°
E 27.685547°		 →
↑
557.53 m
↓
↑
557.53 m
↓
N 24.116675°
E 27.680053°		 ← 557.53 m →
310 833 m²		 N 24.116675°
E 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576896667480469 y=0.430931091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576896667480469 × 216)
    floor (0.576896667480469 × 65536)
    floor (37807.5)     		tx = 37807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430931091308594 × 216)
    floor (0.430931091308594 × 65536)
    floor (28241.5)     		ty = 28241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37807 / 28241 ti = "16/37807/28241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37807/28241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37807 ÷ 216
    37807 ÷ 65536     		x = 0.576889038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28241 ÷ 216
    28241 ÷ 65536     		y = 0.430923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576889038085938 × 2 - 1) × π
    0.153778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48310807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430923461914062 × 2 - 1) × π
    0.138153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.434020689159988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48310807} λ = 0.48310807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434020689159988))-π/2
    2×atan(1.5434508004867)-π/2
    2×0.995899606634448-π/2
    1.9917992132689-1.57079632675     		φ = 0.42100289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48310807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.680053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42100289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.121689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37807 KachelY 28241 0.48310807 0.42100289 27.680053 24.121689
    Oben rechts KachelX + 1 37808 KachelY 28241 0.48320395 0.42100289 27.685547 24.121689
    Unten links KachelX 37807 KachelY + 1 28242 0.48310807 0.42091538 27.680053 24.116675
    Unten rechts KachelX + 1 37808 KachelY + 1 28242 0.48320395 0.42091538 27.685547 24.116675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42100289-0.42091538) × R
    8.75100000000129e-05 × 6371000     		dl = 557.526210000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42100289-0.42091538) × R
    8.75100000000129e-05 × 6371000     		dr = 557.526210000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48310807-0.48320395) × cos(0.42100289) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.912679542313019 × 6371000     		do = 557.511649187587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48310807-0.48320395) × cos(0.42091538) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.912715302052949 × 6371000     		du = 557.533493077648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42100289)-sin(0.42091538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912679542313019-0.912715302052949)×R²
    abs(0.48320395-0.48310807)×3.57597399303078e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.57597399303078e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.57597399303078e-05×40589641000000     		ar = 310833.44627163m²