Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37806 / 28242
↖ ↑ ↗
← N 24.116675°
E 27.674561°		 ← 557.48 m → N 24.116675°
E 27.680053°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
N 24.111661°
E 27.674561°		 ← 557.50 m →
310 778 m²		 N 24.111661°
E 27.680053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576881408691406 y=0.430946350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576881408691406 × 216)
    floor (0.576881408691406 × 65536)
    floor (37806.5)     		tx = 37806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430946350097656 × 216)
    floor (0.430946350097656 × 65536)
    floor (28242.5)     		ty = 28242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37806 / 28242 ti = "16/37806/28242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37806/28242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37806 ÷ 216
    37806 ÷ 65536     		x = 0.576873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28242 ÷ 216
    28242 ÷ 65536     		y = 0.430938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576873779296875 × 2 - 1) × π
    0.15374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48301220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.433924815360748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48301220} λ = 0.48301220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433924815360748))-π/2
    2×atan(1.54330283108783)-π/2
    2×0.995855854749707-π/2
    1.99171170949941-1.57079632675     		φ = 0.42091538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48301220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.674561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42091538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.116675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37806 KachelY 28242 0.48301220 0.42091538 27.674561 24.116675
    Oben rechts KachelX + 1 37807 KachelY 28242 0.48310807 0.42091538 27.680053 24.116675
    Unten links KachelX 37806 KachelY + 1 28243 0.48301220 0.42082788 27.674561 24.111661
    Unten rechts KachelX + 1 37807 KachelY + 1 28243 0.48310807 0.42082788 27.680053 24.111661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42091538-0.42082788) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dl = 557.462500000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42091538-0.42082788) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dr = 557.462500000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48301220-0.48310807) × cos(0.42091538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912715302052949 × 6371000     		do = 557.475343985785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48301220-0.48310807) × cos(0.42082788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		du = 557.497178833279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42091538)-sin(0.42082788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912715302052949-0.912751050718143)×R²
    abs(0.48310807-0.48301220)×3.57486651939576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57486651939576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57486651939576e-05×40589641000000     		ar = 310777.685199198m²