Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37804 / 28256
↖ ↑ ↗
← N 24.046464°
E 27.663574°		 ← 557.84 m → N 24.046464°
E 27.669068°		 →
↑
557.78 m
↓
↑
557.78 m
↓
N 24.041448°
E 27.663574°		 ← 557.86 m →
311 158 m²		 N 24.041448°
E 27.669068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576850891113281 y=0.431159973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576850891113281 × 216)
    floor (0.576850891113281 × 65536)
    floor (37804.5)     		tx = 37804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431159973144531 × 216)
    floor (0.431159973144531 × 65536)
    floor (28256.5)     		ty = 28256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37804 / 28256 ti = "16/37804/28256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37804/28256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37804 ÷ 216
    37804 ÷ 65536     		x = 0.57684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28256 ÷ 216
    28256 ÷ 65536     		y = 0.43115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57684326171875 × 2 - 1) × π
    0.1536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48282045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.432582582171387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48282045} λ = 0.48282045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.432582582171387))-π/2
    2×atan(1.54123274838435)-π/2
    2×0.995243148520036-π/2
    1.99048629704007-1.57079632675     		φ = 0.41968997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48282045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41968997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.046464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37804 KachelY 28256 0.48282045 0.41968997 27.663574 24.046464
    Oben rechts KachelX + 1 37805 KachelY 28256 0.48291633 0.41968997 27.669068 24.046464
    Unten links KachelX 37804 KachelY + 1 28257 0.48282045 0.41960242 27.663574 24.041448
    Unten rechts KachelX + 1 37805 KachelY + 1 28257 0.48291633 0.41960242 27.669068 24.041448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41968997-0.41960242) × R
    8.75500000000473e-05 × 6371000     		dl = 557.781050000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41968997-0.41960242) × R
    8.75500000000473e-05 × 6371000     		dr = 557.781050000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48282045-0.48291633) × cos(0.41968997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.91321531440113 × 6371000     		do = 557.838926360553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48282045-0.48291633) × cos(0.41960242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.913250985543047 × 6371000     		du = 557.860716130386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41968997)-sin(0.41960242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91321531440113-0.913250985543047)×R²
    abs(0.48291633-0.48282045)×3.56711419170486e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.56711419170486e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.56711419170486e-05×40589641000000     		ar = 311158.059235444m²