Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37802 / 28431
↖ ↑ ↗
← N 23.165614°
E 27.652588°		 ← 561.54 m → N 23.165614°
E 27.658081°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
N 23.160564°
E 27.652588°		 ← 561.56 m →
315 334 m²		 N 23.160564°
E 27.658081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576820373535156 y=0.433830261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576820373535156 × 216)
    floor (0.576820373535156 × 65536)
    floor (37802.5)     		tx = 37802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433830261230469 × 216)
    floor (0.433830261230469 × 65536)
    floor (28431.5)     		ty = 28431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37802 / 28431 ti = "16/37802/28431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37802/28431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37802 ÷ 216
    37802 ÷ 65536     		x = 0.576812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28431 ÷ 216
    28431 ÷ 65536     		y = 0.433822631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576812744140625 × 2 - 1) × π
    0.15362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48262871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433822631835938 × 2 - 1) × π
    0.132354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.415804667304367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48262871} λ = 0.48262871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415804667304367))-π/2
    2×atan(1.51558979571486)-π/2
    2×0.98755627922688-π/2
    1.97511255845376-1.57079632675     		φ = 0.40431623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48262871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.652588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40431623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.165614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37802 KachelY 28431 0.48262871 0.40431623 27.652588 23.165614
    Oben rechts KachelX + 1 37803 KachelY 28431 0.48272458 0.40431623 27.658081 23.165614
    Unten links KachelX 37802 KachelY + 1 28432 0.48262871 0.40422809 27.652588 23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 37803 KachelY + 1 28432 0.48272458 0.40422809 27.658081 23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40431623-0.40422809) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dl = 561.539940000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40431623-0.40422809) × R
    8.81400000000143e-05 × 6371000     		dr = 561.539940000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48262871-0.48272458) × cos(0.40431623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919371600493351 × 6371000     		do = 561.540929666653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48262871-0.48272458) × cos(0.40422809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 561.562105582284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40431623)-sin(0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919371600493351-0.919406270335596)×R²
    abs(0.48272458-0.48262871)×3.46698422449832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46698422449832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46698422449832e-05×40589641000000     		ar = 315333.605717931m²