Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3780 / 2565
↖ ↑ ↗
← N 55.652798°
W 13.886718°		 ← 2 756.99 m → N 55.652798°
W 13.842773°		 →
↑
2 757.81 m
↓
↑
2 757.81 m
↓
N 55.627996°
W 13.886718°		 ← 2 758.74 m →
7 605 678 m²		 N 55.627996°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46148681640625 y=0.31317138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46148681640625 × 213)
    floor (0.46148681640625 × 8192)
    floor (3780.5)     		tx = 3780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31317138671875 × 213)
    floor (0.31317138671875 × 8192)
    floor (2565.5)     		ty = 2565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3780 / 2565 ti = "13/3780/2565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3780/2565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3780 ÷ 213
    3780 ÷ 8192     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2565 ÷ 213
    2565 ÷ 8192     		y = 0.3131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3131103515625 × 2 - 1) × π
    0.373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1742622930929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1742622930929))-π/2
    2×atan(3.23575502432275)-π/2
    2×1.27106044520127-π/2
    2.54212089040254-1.57079632675     		φ = 0.97132456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97132456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.652798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3780 KachelY 2565 -0.24236896 0.97132456 -13.886718 55.652798
    Oben rechts KachelX + 1 3781 KachelY 2565 -0.24160197 0.97132456 -13.842773 55.652798
    Unten links KachelX 3780 KachelY + 1 2566 -0.24236896 0.97089169 -13.886718 55.627996
    Unten rechts KachelX + 1 3781 KachelY + 1 2566 -0.24160197 0.97089169 -13.842773 55.627996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97132456-0.97089169) × R
    0.00043287000000003 × 6371000     		dl = 2757.81477000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97132456-0.97089169) × R
    0.00043287000000003 × 6371000     		dr = 2757.81477000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24160197) × cos(0.97132456) × R
    0.000766989999999995 × 0.564206424961978 × 6371000     		do = 2756.99090975157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24160197) × cos(0.97089169) × R
    0.000766989999999995 × 0.564563764178162 × 6371000     		du = 2758.73704543371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97132456)-sin(0.97089169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564206424961978-0.564563764178162)×R²
    abs(-0.24160197--0.24236896)×0.000357339216184194×R²
    0.000766989999999995×0.000357339216184194×6371000²
    0.000766989999999995×0.000357339216184194×40589641000000     		ar = 7605678.1298171m²