Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37799 / 27910
↖ ↑ ↗
← N 25.770214°
E 27.636108°		 ← 550.10 m → N 25.770214°
E 27.641602°		 →
↑
550.07 m
↓
↑
550.07 m
↓
N 25.765267°
E 27.636108°		 ← 550.12 m →
302 601 m²		 N 25.765267°
E 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576774597167969 y=0.425880432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576774597167969 × 216)
    floor (0.576774597167969 × 65536)
    floor (37799.5)     		tx = 37799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425880432128906 × 216)
    floor (0.425880432128906 × 65536)
    floor (27910.5)     		ty = 27910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37799 / 27910 ti = "16/37799/27910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37799/27910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37799 ÷ 216
    37799 ÷ 65536     		x = 0.576766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27910 ÷ 216
    27910 ÷ 65536     		y = 0.425872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576766967773438 × 2 - 1) × π
    0.153533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48234108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425872802734375 × 2 - 1) × π
    0.14825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.465754916708466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48234108} λ = 0.48234108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465754916708466))-π/2
    2×atan(1.59321648075642)-π/2
    2×1.01028570369515-π/2
    2.02057140739031-1.57079632675     		φ = 0.44977508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48234108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.636108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44977508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.770214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37799 KachelY 27910 0.48234108 0.44977508 27.636108 25.770214
    Oben rechts KachelX + 1 37800 KachelY 27910 0.48243696 0.44977508 27.641602 25.770214
    Unten links KachelX 37799 KachelY + 1 27911 0.48234108 0.44968874 27.636108 25.765267
    Unten rechts KachelX + 1 37800 KachelY + 1 27911 0.48243696 0.44968874 27.641602 25.765267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44977508-0.44968874) × R
    8.63400000000181e-05 × 6371000     		dl = 550.072140000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44977508-0.44968874) × R
    8.63400000000181e-05 × 6371000     		dr = 550.072140000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48234108-0.48243696) × cos(0.44977508) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.900544912023422 × 6371000     		do = 550.099192316254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48234108-0.48243696) × cos(0.44968874) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.900582446103726 × 6371000     		du = 550.122120064757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44977508)-sin(0.44968874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900544912023422-0.900582446103726)×R²
    abs(0.48243696-0.48234108)×3.75340803036028e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.75340803036028e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.75340803036028e-05×40589641000000     		ar = 302600.546075364m²