Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37794 / 27301
↖ ↑ ↗
← N 28.743581°
E 27.608642°		 ← 535.58 m → N 28.743581°
E 27.614136°		 →
↑
535.61 m
↓
↑
535.61 m
↓
N 28.738764°
E 27.608642°		 ← 535.61 m →
286 870 m²		 N 28.738764°
E 27.614136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576698303222656 y=0.416587829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576698303222656 × 216)
    floor (0.576698303222656 × 65536)
    floor (37794.5)     		tx = 37794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416587829589844 × 216)
    floor (0.416587829589844 × 65536)
    floor (27301.5)     		ty = 27301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37794 / 27301 ti = "16/37794/27301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37794/27301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37794 ÷ 216
    37794 ÷ 65536     		x = 0.576690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27301 ÷ 216
    27301 ÷ 65536     		y = 0.416580200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576690673828125 × 2 - 1) × π
    0.15338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48186171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416580200195312 × 2 - 1) × π
    0.166839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.524142060445694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48186171} λ = 0.48186171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524142060445694))-π/2
    2×atan(1.68900915883006)-π/2
    2×1.03623322163233-π/2
    2.07246644326465-1.57079632675     		φ = 0.50167012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48186171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.608642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50167012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.743581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37794 KachelY 27301 0.48186171 0.50167012 27.608642 28.743581
    Oben rechts KachelX + 1 37795 KachelY 27301 0.48195759 0.50167012 27.614136 28.743581
    Unten links KachelX 37794 KachelY + 1 27302 0.48186171 0.50158605 27.608642 28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 37795 KachelY + 1 27302 0.48195759 0.50158605 27.614136 28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50167012-0.50158605) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dl = 535.609969999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50167012-0.50158605) × R
    8.40699999999917e-05 × 6371000     		dr = 535.609969999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48186171-0.48195759) × cos(0.50167012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876780640161478 × 6371000     		do = 535.582751677945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48186171-0.48195759) × cos(0.50158605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 535.607445574427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50167012)-sin(0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876780640161478-0.876821065530476)×R²
    abs(0.48195759-0.48186171)×4.042536899862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.042536899862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.042536899862e-05×40589641000000     		ar = 286870.074876142m²