Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37793 / 28482
↖ ↑ ↗
← N 22.907803°
E 27.603149°		 ← 562.62 m → N 22.907803°
E 27.608642°		 →
↑
562.62 m
↓
↑
562.62 m
↓
N 22.902743°
E 27.603149°		 ← 562.64 m →
316 547 m²		 N 22.902743°
E 27.608642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576683044433594 y=0.434608459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576683044433594 × 216)
    floor (0.576683044433594 × 65536)
    floor (37793.5)     		tx = 37793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434608459472656 × 216)
    floor (0.434608459472656 × 65536)
    floor (28482.5)     		ty = 28482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37793 / 28482 ti = "16/37793/28482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37793/28482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37793 ÷ 216
    37793 ÷ 65536     		x = 0.576675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28482 ÷ 216
    28482 ÷ 65536     		y = 0.434600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48176584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434600830078125 × 2 - 1) × π
    0.13079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410915103543121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48176584} λ = 0.48176584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410915103543121))-π/2
    2×atan(1.50819731051487)-π/2
    2×0.985306460702383-π/2
    1.97061292140477-1.57079632675     		φ = 0.39981659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48176584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.603149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39981659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.907803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37793 KachelY 28482 0.48176584 0.39981659 27.603149 22.907803
    Oben rechts KachelX + 1 37794 KachelY 28482 0.48186171 0.39981659 27.608642 22.907803
    Unten links KachelX 37793 KachelY + 1 28483 0.48176584 0.39972828 27.603149 22.902743
    Unten rechts KachelX + 1 37794 KachelY + 1 28483 0.48186171 0.39972828 27.608642 22.902743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39981659-0.39972828) × R
    8.83100000000359e-05 × 6371000     		dl = 562.623010000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39981659-0.39972828) × R
    8.83100000000359e-05 × 6371000     		dr = 562.623010000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48176584-0.48186171) × cos(0.39981659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921132401728757 × 6371000     		do = 562.616405526639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48176584-0.48186171) × cos(0.39972828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.921166772751779 × 6371000     		du = 562.637398927144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39981659)-sin(0.39972828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921132401728757-0.921166772751779)×R²
    abs(0.48186171-0.48176584)×3.43710230218397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43710230218397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43710230218397e-05×40589641000000     		ar = 316546.841443655m²