Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37793 / 27299
N 28.753213°
E 27.603149°
← 535.48 m → N 28.753213°
E 27.608642°

535.55 m

535.55 m
N 28.748396°
E 27.603149°
← 535.50 m →
286 780 m²
N 28.748396°
E 27.608642°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576683044433594 y=0.416557312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576683044433594 × 216)
    floor (0.576683044433594 × 65536)
    floor (37793.5)
    tx = 37793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416557312011719 × 216)
    floor (0.416557312011719 × 65536)
    floor (27299.5)
    ty = 27299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37793 / 27299 ti = "16/37793/27299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37793/27299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37793 ÷ 216
    37793 ÷ 65536
    x = 0.576675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27299 ÷ 216
    27299 ÷ 65536
    y = 0.416549682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535
    Λ = 0.48176584
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.416549682617188 × 2 - 1) × π
    0.166900634765625 × 3.1415926535
    Φ = 0.524333808044174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48176584} λ = 0.48176584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524333808044174))-π/2
    2×atan(1.68933305333209)-π/2
    2×1.0363172780477-π/2
    2.0726345560954-1.57079632675
    φ = 0.50183823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48176584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.603149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50183823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.753213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37793 KachelY 27299 0.48176584 0.50183823 27.603149 28.753213
    Oben rechts KachelX + 1 37794 KachelY 27299 0.48186171 0.50183823 27.608642 28.753213
    Unten links KachelX 37793 KachelY + 1 27300 0.48176584 0.50175417 27.603149 28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 37794 KachelY + 1 27300 0.48186171 0.50175417 27.608642 28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.50183823-0.50175417) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000
    dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.50183823-0.50175417) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000
    dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.48176584-0.48186171) × cos(0.50183823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876699785264266 × 6371000
    do = 535.477506801028m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.48176584-0.48186171) × cos(0.50175417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876740218214884 × 6371000
    du = 535.502202752771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.50183823)-sin(0.50175417))×
    abs(λ12)×abs(0.876699785264266-0.876740218214884)×
    abs(0.48186171-0.48176584)×4.04329506182854e-05×
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04329506182854e-05×40589641000000
    ar = 286779.589162747m²