Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37792 / 30753
↖ ↑ ↗
← N 11.000512°
E 27.597656°		 ← 599.56 m → N 11.000512°
E 27.603149°		 →
↑
599.57 m
↓
↑
599.57 m
↓
N 10.995120°
E 27.597656°		 ← 599.58 m →
359 487 m²		 N 10.995120°
E 27.603149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576667785644531 y=0.469261169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576667785644531 × 216)
    floor (0.576667785644531 × 65536)
    floor (37792.5)     		tx = 37792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469261169433594 × 216)
    floor (0.469261169433594 × 65536)
    floor (30753.5)     		ty = 30753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37792 / 30753 ti = "16/37792/30753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37792/30753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37792 ÷ 216
    37792 ÷ 65536     		x = 0.57666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30753 ÷ 216
    30753 ÷ 65536     		y = 0.469253540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469253540039062 × 2 - 1) × π
    0.061492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.193185705468826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48166997} λ = 0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193185705468826))-π/2
    2×atan(1.21310805340227)-π/2
    2×0.881395742733754-π/2
    1.76279148546751-1.57079632675     		φ = 0.19199516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19199516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.000512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37792 KachelY 30753 0.48166997 0.19199516 27.597656 11.000512
    Oben rechts KachelX + 1 37793 KachelY 30753 0.48176584 0.19199516 27.603149 11.000512
    Unten links KachelX 37792 KachelY + 1 30754 0.48166997 0.19190105 27.597656 10.995120
    Unten rechts KachelX + 1 37793 KachelY + 1 30754 0.48176584 0.19190105 27.603149 10.995120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19199516-0.19190105) × R
    9.41100000000084e-05 × 6371000     		dl = 599.574810000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19199516-0.19190105) × R
    9.41100000000084e-05 × 6371000     		dr = 599.574810000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48166997-0.48176584) × cos(0.19199516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981625477140834 × 6371000     		do = 599.564836158023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48166997-0.48176584) × cos(0.19190105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981643430654481 × 6371000     		du = 599.575801944587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19199516)-sin(0.19190105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981625477140834-0.981643430654481)×R²
    abs(0.48176584-0.48166997)×1.79535136466402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79535136466402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79535136466402e-05×40589641000000     		ar = 359487.260392227m²