Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37792 / 27296
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E 27.597656°		 ← 535.40 m → N 28.767659°
E 27.603149°		 →
↑
535.42 m
↓
↑
535.42 m
↓
N 28.762844°
E 27.597656°		 ← 535.43 m →
286 672 m²		 N 28.762844°
E 27.603149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576667785644531 y=0.416511535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576667785644531 × 216)
    floor (0.576667785644531 × 65536)
    floor (37792.5)     		tx = 37792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416511535644531 × 216)
    floor (0.416511535644531 × 65536)
    floor (27296.5)     		ty = 27296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37792 / 27296 ti = "16/37792/27296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37792/27296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37792 ÷ 216
    37792 ÷ 65536     		x = 0.57666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27296 ÷ 216
    27296 ÷ 65536     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48166997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48166997} λ = 0.48166997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48166997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37792 KachelY 27296 0.48166997 0.50209037 27.597656 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 37793 KachelY 27296 0.48176584 0.50209037 27.603149 28.767659
    Unten links KachelX 37792 KachelY + 1 27297 0.48166997 0.50200633 27.597656 28.762844
    Unten rechts KachelX + 1 37793 KachelY + 1 27297 0.48176584 0.50200633 27.603149 28.762844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.50200633) × R
    8.4040000000063e-05 × 6371000     		dl = 535.418840000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.50200633) × R
    8.4040000000063e-05 × 6371000     		dr = 535.418840000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48166997-0.48176584) × cos(0.50209037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 535.403408002009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48166997-0.48176584) × cos(0.50200633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		du = 535.428109424573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.50200633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876618910402519)×R²
    abs(0.48176584-0.48166997)×4.04419076098783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04419076098783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04419076098783e-05×40589641000000     		ar = 286671.68461692m²