Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37791 / 27297
↖ ↑ ↗
← N 28.762844°
E 27.592163°		 ← 535.48 m → N 28.762844°
E 27.597656°		 →
↑
535.48 m
↓
↑
535.48 m
↓
N 28.758028°
E 27.592163°		 ← 535.51 m →
286 749 m²		 N 28.758028°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576652526855469 y=0.416526794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576652526855469 × 216)
    floor (0.576652526855469 × 65536)
    floor (37791.5)     		tx = 37791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416526794433594 × 216)
    floor (0.416526794433594 × 65536)
    floor (27297.5)     		ty = 27297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37791 / 27297 ti = "16/37791/27297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37791/27297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37791 ÷ 216
    37791 ÷ 65536     		x = 0.576644897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27297 ÷ 216
    27297 ÷ 65536     		y = 0.416519165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576644897460938 × 2 - 1) × π
    0.153289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48157409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416519165039062 × 2 - 1) × π
    0.166961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524525555642654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48157409} λ = 0.48157409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524525555642654))-π/2
    2×atan(1.68965700994605)-π/2
    2×1.03640132671025-π/2
    2.0728026534205-1.57079632675     		φ = 0.50200633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48157409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.592163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50200633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.762844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37791 KachelY 27297 0.48157409 0.50200633 27.592163 28.762844
    Oben rechts KachelX + 1 37792 KachelY 27297 0.48166997 0.50200633 27.597656 28.762844
    Unten links KachelX 37791 KachelY + 1 27298 0.48157409 0.50192228 27.592163 28.758028
    Unten rechts KachelX + 1 37792 KachelY + 1 27298 0.48166997 0.50192228 27.597656 28.758028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50200633-0.50192228) × R
    8.40499999998912e-05 × 6371000     		dl = 535.482549999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50200633-0.50192228) × R
    8.40499999998912e-05 × 6371000     		dr = 535.482549999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48157409-0.48166997) × cos(0.50200633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		do = 535.483958815325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48157409-0.48166997) × cos(0.50192228) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87665935092993 × 6371000     		du = 535.508661971346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50200633)-sin(0.50192228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876618910402519-0.87665935092993)×R²
    abs(0.48166997-0.48157409)×4.04405274105901e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04405274105901e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04405274105901e-05×40589641000000     		ar = 286748.929973537m²