Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37790 / 28364
↖ ↑ ↗
← N 23.503552°
E 27.586670°		 ← 560.11 m → N 23.503552°
E 27.592163°		 →
↑
560.14 m
↓
↑
560.14 m
↓
N 23.498515°
E 27.586670°		 ← 560.14 m →
313 747 m²		 N 23.498515°
E 27.592163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576637268066406 y=0.432807922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576637268066406 × 216)
    floor (0.576637268066406 × 65536)
    floor (37790.5)     		tx = 37790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432807922363281 × 216)
    floor (0.432807922363281 × 65536)
    floor (28364.5)     		ty = 28364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37790 / 28364 ti = "16/37790/28364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37790/28364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37790 ÷ 216
    37790 ÷ 65536     		x = 0.576629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28364 ÷ 216
    28364 ÷ 65536     		y = 0.43280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576629638671875 × 2 - 1) × π
    0.15325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48147822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43280029296875 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.422228211853455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48147822} λ = 0.48147822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422228211853455))-π/2
    2×atan(1.52535658941997)-π/2
    2×0.990505346653621-π/2
    1.98101069330724-1.57079632675     		φ = 0.41021437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48147822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.586670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41021437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.503552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37790 KachelY 28364 0.48147822 0.41021437 27.586670 23.503552
    Oben rechts KachelX + 1 37791 KachelY 28364 0.48157409 0.41021437 27.592163 23.503552
    Unten links KachelX 37790 KachelY + 1 28365 0.48147822 0.41012645 27.586670 23.498515
    Unten rechts KachelX + 1 37791 KachelY + 1 28365 0.48157409 0.41012645 27.592163 23.498515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41021437-0.41012645) × R
    8.79200000000191e-05 × 6371000     		dl = 560.138320000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41021437-0.41012645) × R
    8.79200000000191e-05 × 6371000     		dr = 560.138320000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48147822-0.48157409) × cos(0.41021437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917035351862707 × 6371000     		do = 560.113977575376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48147822-0.48157409) × cos(0.41012645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.917070411335017 × 6371000     		du = 560.135391472286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41021437)-sin(0.41012645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917035351862707-0.917070411335017)×R²
    abs(0.48157409-0.48147822)×3.5059472310417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5059472310417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5059472310417e-05×40589641000000     		ar = 313747.299981829m²